Za trzy dni Brazylia zmierzy się w finale Mistrzostw z Niemcami. Transmisję z Japonii obejrzymy dzięki przekazowi satelitarnemu. Zapraszamy do lektury miniwykładu o satelitach telekomunikacyjnych.

Wokół Ziemi krążą tysiące satelitów. Wykorzystywane są do różnych celów. Część z nich obserwuje Ziemię (w celach naukowych, komercyjnych i wojskowych), inne pomagają w nawigacji. Szereg innych pozwala nam na obserwacje Kosmosu spoza atmosfery. Jeden z satelitów, Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, jest zamieszkały.

Jednak wśród tej rzeszy statków kosmicznych jest grupa wysłanych przez ludzkość instrumentów, służących celom telekomunikacyjnym. Przekazują one transmisje telewizyjne, rozmowy telefoniczne, dane internetowe.

Nie każdy satelita nadaje się do takiego celu. Krążąc zbyt nisko nad Ziemią, porusza się szybko wśród gwiazd i ciągła komunikacja poprzez niego sprawiałaby wiele problemów: znikałby on poza horyzontem, zmuszał anteny nadawcze i odbiorcze do obracania się, istniałyby okresy braku łączności.

Gdyby jednak satelita „wisiał” przez cały czas w tym samym punkcie nieba, sprawa byłaby rozwiązana. Czy jednak jest to możliwe? Tak! Wystarczy by satelita obiegał Ziemię w czasie dokładnie równym okresowi obrotu Ziemi wokół osi, w tę samą stronę, w którą następuje obrót planety. Dodatkowo płaszczyzna jego kołowej orbity powinna pokrywać się z płaszczyzną ziemskiego równika. Zastanówmy się nad rozmiarami takiej orbity.

Satelity krążą wokół Ziemi dzięki sile przyciągania grawitacyjnego pomiędzy nimi na Ziemią. Siłę tę opisuje sformułowane przez Newtona prawo powszechnego ciążenia:

F = GMm / r²

gdzie:

G – stała powszechnego ciążenia równa 6,67 * 10^-11 Nm²/kg²;

M – masa Ziemi równa 5,97 * 10²⁴kg;

m – masa satelity (jej dokładna wartość nie będzie potrzebna w trakcie dalszych rachunków);

r – odległość między środkiem Ziemi, a satelitą czyli promień jego orbity (w przypadku rozpatrywanej, kołowej orbity wartość r nie zmienia się).

W przypadku ciała krążącego po orbicie kołowej, niezmieniająca wartości siła grawitacji gra rolę siły dośrodkowej (podobnie jak napięcie nici w przypadku kulki poruszającej się po okręgu). Wartość siły dośrodkowej wyraża się wzorem:

F = mv²/r

gdzie v – prędkość satelity.

Skoro obie siły można do siebie przyrównać, otrzymujemy po prostym przekształceniu wzoru, że prędkość satelity na orbicie wyraża się formułą:

v = (GM/r)^(1/2)

gdzie przez potęgę o wykładniku 1/2 rozumiemy pierwiastek kwadratowy. Jest to znany ze szkoły średniej wzór na pierwszą prędkość kosmiczną na orbicie o promieniu r.

Prędkość tę można łatwo powiązać z okresem obiegu wzorem:

v = 2 * PI * r / T

gdzie T – szukany okres obiegu (podzieliliśmy długość orbity satelity przez czas potrzebny na jej pokonanie).

Po przyrównaniu obu wzorów wyrażających prędkość i przekształceniu względem T, otrzymujemy wzór na okres obiegu satelity krążącego w odległości r od środka Ziemi:

T = 2 * PI * (r³/GM)^(1/2)

Stąd łatwo można obliczyć na przykład czas potrzebny Międzynarodowej Stacji Kosmicznej na wykonanie pełnego obiegu wokół Ziemi. Przyjmując, że krąży ona 350 kilometrów ponad powierzchnią Ziemi (czyli 6728 kilometrów od jej środka) otrzymamy, że wykonanie pełnego obiegu zajmuje około 92 minut. Jej prędkość, wyliczona z poprzedniego wzoru, to około 7700 metrów na sekundę.

Stąd już prosty krok do znalezienia promienia orbity satelity, który może być wykorzystany do transmisji finału Mistrzostw Świata. Wystarczy ostatni wzór przekształcić tak, aby wyznaczyć z niego r:

r = ( GMT² / 4*PI² )^(1/3)

Potęga o wykładniku 1/3 to pierwiastek trzeciego stopnia.

Podstawiając odpowiednie wartości (okres obiegu około 24 godzin, czyli 86400 sekund), otrzymamy wynik:

r = 42300 km

Odejmując promień Ziemi (6378 kilometrów) otrzymamy, że satelita znajduje się na wysokości około 35900 kilometrów.

Satelitę, który obiega Ziemię w płaszczyźnie jej równika z okresem równym okresowi jej obrotu nazywamy satelitą geostacjonarnym. Zgodnie z naszymi oczekiwaniami, zdaje się on „wisieć” ponad jednym punktem planety, dokładnie nad równikiem i łączność poprzez niego może być ciągła.

Zaletą stosowania przekazu satelitarnego jest uniknięcie konieczności rozciągania długich kabli łączących poszczególne części świata (często w takiej sytuacji pokonać należy ocean lub pasmo górskie) oraz kosztów ich konserwacji i napraw. Oczywistą wadą jest wysoki koszt wystrzelenia satelity oraz… opóźnienia sygnału. Zanim dotrze on do naszego telewizora, musi dwukrotnie pokonać odległość 36 tysięcy kilometrów. Zajmuje mu to około 1/4 sekundy (przekazywanie informacji kablem też oczywiście nie jest natychmiastowe). Każdy kto rozmawiał przez telefon z osobą znajdującą się na innym kontynencie (lub oglądał wywiad telewizyjny przeprowadzany poprzez satelitę) wie, jak wiele czasu upływa między zadaniem pytania, a otrzymaniem odpowiedzi. W tym ostatnim przypadku sygnał musi odległość 36 tysięcy kilometrów pokonać aż 4 razy.