9 czerwca o godzinie 15:00 naszego czasu Saturn znajdzie się “za Słońcem”. Okres przerwy w jego obserwacjach warto wykorzystać na analizę ruchu planet Układu Słonecznego.

Za kilka tygodni Saturn ukaże się na porannym niebie krótko przed wschodem Słońca. Każdego poranka warunki do jego obserwacji będą coraz lepsze. 17 grudnia nastąpi jego opozycja. Planeta będzie znajdować się po przeciwnej stronie Ziemi niż Słońce i będzie widoczna przez całą noc. Z upływem tygodni Saturn będzie zachodził coraz wcześniej, aż w końcu ponownie zniknie za Słońcem – dojdzie do kolejnego złączenia ze Słońcem.

Między kolejnymi takimi momentami mija średnio 378 dni. Taki sam odstęp czasu dzieli kolejne opozycje. Skąd taki dziwny okres czasu? Czemu nie wynosi on 365 dni, czyli tyle samo co rok ziemski?

Przyczyna tego jest bardzo prosta – Saturn również krąży wokół Słońca, jednak znacznie wolniej niż Ziemia. Wykonanie pełnego obiegu po orbicie o promieniu 9,5 razy większym niż promień orbity ziemskiej zajmuje mu 29,46 roku. Wzajemne usytuowanie orbit przedstawia poniższy rysunek.

Orbity Ziemi i Saturna

Dwa współśrodkowe okręgi to orbity naszej planety i Saturna wokół oznaczonego literą S Słońca (skala odległości nie została zachowana, w rzeczywistości promień orbity Saturna jest prawie 10 razy większy od promienia orbity ziemskiej). Punkty Z1 i S1 to położenia planet w czasie złączenia Saturna ze Słońcem (jest ono wtedy dokładnie między nimi). Z2 i S2 to położenia planet w czasie kolejnego złączenia następującego 378 dni później.

W czasie złączenia (takiego jak 9 czerwca 2002 roku) Ziemia znajduje się w punkcie oznaczonym Z1, a Saturn – w punkcie S1. Słońce (S) znajduje się dokładnie pomiędzy nimi. Obie planety obiegają Słońce w tę samą stronę (na rysunku – przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Po upływie ziemskiego roku Ziemia ponownie znajduje się w punkcie Z1. Słońce nie jest już jednak na odcinku łączącym obie planety, gdyż Saturn przesunął się nieco po swojej orbicie. Ziemia musi go “gonić”. Dogania go, gdy dociera do punktu Z2. Saturn znajduje się wtedy w S2. Dochodzi do kolejnego złączenia Gwiazdy z Władcą Pierścieni. Ziemia musiała wykonać nieco więcej niż jeden obieg wokół Słońca. Stąd różnica między 365, a 378 dniami.

Spróbujmy samemu uzyskać tę liczbę. W poszukiwanym okresie (oznaczmy go przez T) Ziemia zakreśla na swojej orbicie łuk Z1-Z1-Z2 (od Z1, wokół Słońca, ponownie przez Z1, do Z2). Saturn natomiast łuk S1-S2. Zwróćmy uwagę, że Ziemia wykonała dokładnie o jeden obieg wokół Słońca więcej niż Saturn. W związku z tym kąty (z wierzchołkami w Słońcu) odpowiadające obu łukom muszą różnić się o pełen kąt, czyli 2*PI. Możemy więc napisać:

az = as + 2*PI

gdzie az i as to kąty zakreślone odpowiednio przez Ziemię i Słońce.

Ze szkoły średniej wiemy, że kąt zakreślony w ruchu jednostajnym po okręgu jest iloczynem prędkości kątowej (oznaczymy ją przez w, zwykle używa się greckiej litery omega) i czasu. Możemy więc napisać:

wz*T = ws*T + 2*PI

wz i ws to oczywiście prędkości kątowe Ziemi i Saturna. Prędkość kątową określić można przez iloraz 2*PI i okresu obiegu planety. Jeśli podzielimy obie strony tego równania przez 2*PI*T i skorzystamy ze wspomnianego określenia, otrzymamy:

1/Tz = 1/Ts + 1/T

Tz i Ts to okresy obiegu Ziemi i Saturna wokół Słońca.

Z otrzymanego wzoru można już łatwo wyliczyć T jako funkcję obu okresów obiegu. Wartość T jest różna dla różnych planet. Dla Plutona – około 366 dni, dla Marsa – 780 dni, dla Saturna 378. Okres T nazywany jest okresem synodycznym.

Otrzymany powyżej wzór przypomina nieco swoim “wyglądem”… znany z lekcji fizyki wzór na opór zastępczy połączonych równolegle oporników lub na pojemność zastępczą kondensatorów połączonych szeregowo (mozna go również “porównać” z równaniem soczewki). Jest to jedynie zbieg okoliczności, jakakolwiek analogia jest tutaj nie na miejscu i nie należy czynić żadnych porównań. Sposób wyprowadzania wzorów na opór zastępczy oporników jest zupełnie odmienny… kto przypomni jak się to robi?

Praca domowa: Wyprowadzić analogiczny wzór na okres synodyczny dla planet dolnych (Merkurego i Wenus), których okres obiegu wokół Słońca jest krótszy niż okres obiegu naszej planety. Jaka byłaby postać wzoru, gdyby planety obiegały Słońce w przeciwnych kierunkach?

Autor

Michał Matraszek