Merkury i Wenus krążą bliżej Słońca niż Ziemia. Nazywamy je planetami dolnymi. Nie mogą się na niebie oddalić od Gwiazdy Dziennej dalej niż na pewien maksymalny kąt. Dziś omawiamy jak z biegiem czasu zmieniają się ich położenia na nieboskłonie. Dokonujemy też prostych rachunków.

Przede wszystkim, dla uproszczenia obliczeń, załóżmy że orbity wszystkich planet są okręgami leżącymi w jednej płaszczyźnie. Promień orbity Merkurego to 0,387 AU, Wenus 0,723 AU, a Ziemi 1 AU (AU, jednostka astronomiczna to średnia odległość Ziemia – Słońce czyli 149,6 mln kilometrów).

Wszystkie planety obiegają Słońce w tym samym kierunku i zgodnie z prawami Keplera. Trzecie z nich mówi, że druga potęga okresu obiegu jest proporcjonalna do trzeciej potęgi średniej odległości:

T2 / r3 = const

T to okres obiegu, r – promień orbity planety.

Zakładamy do dalszych obliczeń, że okres obiegu Ziemi wokół Słońca wynosi 365,25 dnia. Obliczamy stąd, że okresy obiegu Merkurego i Wenus wynoszą odpowiednio 87,9 dnia i 224,5 dnia. Potrzebne nam będą jeszcze tak zwane okresy synodyczne (Złączenie Saturna ze Słońcem, czyli “Co mają wspólnego planety i oporniki?”“>pisaliśmy już kiedyś czym one są). Dla Merkurego wynosi on 116 dni, a dla Wenus 583 dni.

Przyszedł wreszcie czas aby spojrzeć na dołączony do tego tekstu schemat. Przedstawia on orbity Ziemi i jednej z planet dolnych. Literą S oznaczono położenie Słońca, Z – Ziemi.

Planety krążą wokół Słońca z obliczonymi wcześniej okresami obiegu. Policzyliśmy jednak okresy synodyczne, a one ułatwią nam rachunki. Możemy przyjąć, że Ziemia jest na naszym schemacie nieruchoma, a Merkury (lub Wenus) obiegają Słońce nie w czasie równym okresowi obiegu, lecz w dłuższym od niego okresie synodycznym. Tak więc na prezentowanym rysunku Ziemia pozostaje nieruchoma, planeta zaś porusza się ruchem jednostajnym po okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Przeanalizujmy jej ruch.

Rozpoczniemy od chwili, gdy planeta dolna znajduje się w punkcie D. To tak zwane złączenie dolne (bądź koniunkcja dolna). Jeśli orbity leżą w jednej płaszczyźnie, obserwowane ciało niebieskie powinno znajdować się wtedy na tle Słońca (w rzeczywistości orbity są nieco nachylone, a zjawiska takich przejść zdarzają się bardzo rzadko). Odległość Ziemi i planety obliczyć można bardzo łatwo – wystarczy odjąć od siebie promienie ich orbit. Łatwo zauważyć, że odległość ta nie może być już mniejsza (a co za tym idzie – rozmiary kątowe planety osiągają maksimum). W czasie dolnego złączenia na ogół nie widzimy planety ze względu na oślepiający blask Słońca (chyba, że przejdzie ona na jego tle, wtedy dostrzeżemy ją jako czarną tarczkę). Poza tym uniemożliwia to… nów planety, z Ziemi widzimy akurat jej nieoświetloną połowę.

Z biegiem czasu planeta przesuwa się w kierunku punktu W. Stopniowo rośnie kąt jaki tworzą odcinki łączące Ziemię ze Słońcem i z planetą. Ten kąt nazywamy elongacją. Proszę zwrócić uwagę, że z ziemskiego punktu widzenia planeta oddala się od Słońca na zachód. Musi więc wcześniej od niego wschodzić i wcześniej niż ono zachodzić. Im większa elongacja, tym ta różnica czasowa jest większa. Planetę możemy obserwować wtedy na porannym niebie krótko przed wschodem Słońca. Ze wzrostem elongacji zwiększa się faza planety, powoli staje się ona coraz grubszym rogalikiem zwróconym wypukłością w stronę Słońca. Coraz większa jest też jej odległość od Ziemi.

W końcu Merkury lub Wenus osiągają punkt W. Półprosta wyprowadzona z Ziemi i przechodząca przez planetę staje się styczna do jej orbity (a więc kąt SWZ jest kątem prostym). Elongacja przyjmuje największą możliwą wartość. Mówimy o maksymalnej elongacji zachodniej (jej wartość oznaczono na rysunku literą beta). Panują najlepsze warunki do obserwacji planety o świcie. Jej kształt widziany w teleskopie to połówka koła czyli kwadra. Ile wynosi kąt maksymalnej elongacji? Można go policzyć ze wzoru:

sin (beta) = rp / rz

gdzie rp to promień orbity planety, a rz – promień orbity Ziemi.

Łatwo obliczyć można, że dla Merkurego kąt beta wynosi 23 stopnie, a dla Wenus 46 stopni (ze względu na spłaszczenie orbit planet, kąty te różnią się nieco od tej wartości w czasie kolejnych elongacji). Ograniczenie na elongację powoduje, że nigdy nie możemy obserwować planety dolnej przez całą noc, może ona być widoczna jedynie o świcie lub o zmierzchu (o czym napiszemy za chwilę).

Policzmy jeszcze odległość Ziemia-planeta w czasie maksymalnej elongacji. Zastosowawszy twierdzenie Pitagorasa stwierdzimy, że Merkury jest wtedy odległy o 0,922 AU, a Wenus o 0,691 AU (uczniom gimnazjów i liceów sugerujemy samodzielne wykonanie obliczeń, twierdzenie Pitagorasa stosuje się doskonale także dla trójkątów bilion razy większych od tych, które rysuje się w szkolnych zeszytach).

Planeta porusza się dalej, w kierunku punktu G. Kąt elongacji zaczyna się zmniejszać (w nieco wolniejszym tempie niż poprzednio rósł). Planetę coraz trudniej znaleźć w słonecznym blasku. Jej faza staje się coraz bliższa pełni. Zwiększa się tez dystans do Ziemi, a razem z nim maleją rozmiary kątowe tarczy.

W końcu Merkury osiąga punkt G (proszę nie traktować tego zdania dwuznacznie :-). To tak zwane złączenie górne (koniunkcja górna). Planeta znajduje się za Słońcem i jest w pełni, gdyż kieruje ku nam tę samą połowę, którą oświetla Słońce. Nie da się jej jednak obserwować ze względu na blask Słońca. Odległość Ziemia-planeta obliczyć można dodając promienie ich orbit. To maksymalna wartość tej odległości (rozmiary kątowe planety osiągają minimum).

Planeta kontynuuje swój ruch po okręgu w kierunku punktu E, czyli maksymalnej elongacji wschodniej. Jak się łatwo domyślić, prawdziwe są stwierdzenia: Zmniejsza się jej odległość od Ziemi. Faza planety dąży od pełni do kwadry (osiąganej w punkcie E) zwracając oświetloną stronę w kierunku Słońca. Elongacja rośnie osiągając maksymalną wartość (równą beta) w punkcie E. Planeta zachodzi i wschodzi jakiś czas po Słońcu. Czas na jej obserwacje to wczesny wieczór, miejsce – zachodni horyzont. Odległość ZE = ZW (znowu potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa), kąt SEZ jest prosty, punkt E jest punktem styczności orbity planety dolnej i półprostej wyprowadzonej z Ziemi. Sytuacja jest zupełnie symetryczna – trójkąty SWZ i SEZ są przystające, ułożone symetrycznie względem prostej przechodzącej przez punkty Z, D, S i G.

W ciągu następnych dni planeta pokonuje łuk ED i w końcu, po upływie okresu synodycznego od poprzedniego złączenia dolnego, dochodzi do kolejnej koniunkcji dolnej. Pętla się zamknęła, cykl rozpoczyna się od początku.

Warto tu wspomnieć, że nie wszystkie maksymalne elongacje są tak samo dobre do obserwacji planet dolnych. Zależy to nie tylko od zmian kąta beta ale i od konfiguracji jaką względem horyzontu tworzą Słońce i planeta. W przypadku Wenus kąt beta jest tak duży, że można ją obserwować przez kilka miesięcy w okolicach każdej z maksymalnych elongacji. Gorzej jest z Merkurym. Dla naszych szerokości geograficznych najlepsze warunki do jego odszukania na tle porannej bądź wieczornej zorzy wypadają w czasie jesiennych maksymalnych elongacji zachodnich i wiosennych wschodnich.

I znów nieco matematyki. Ile czasu mija od złączenia dolnego do maksymalnej elongacji zachodniej, a ile od tej elongacji do złączenia górnego? Skoro analizujemy ruch jednostajny po okręgu, zakreślane kąty muszą być proporcjonalne do upływu czasu. Suma kątów w trójkącie SWZ wynosi 180 stopni, kąt gamma musi więc być równy 67 stopni dla Merkurego i 44 stopnie dla Wenus. Ułożenie prostej proporcji pozwoli na stwierdzenie, że na pokonanie łuku DW Merkury potrzebuje 22 dni, a Wenus 71 dni. Na dotarcie z W do punktu G – Merkury kolejnych 36 dni, a Wenus – około 220,5 dnia. Kolejne 220,5 dnia zajmie tej tej ostatniej planecie przemieszczenie się do punktu E. Po kolejnych 71 dniach znajdzie się znowu w D. Tak więc między wschodnią i zachodnią elongacją Wenus mijają 142 dni, a między elongacją zachodnią i wschodnią mija ich aż 441. Dla Merkurego liczby te wynoszą 44 i 72 dni.

To tyle o planetach dolnych. Za tydzień napiszemy o Planety górne na ziemskim niebie“>ruchu planet górnych.

Autor

Michał Matraszek