W naszych tekstach często posługujemy się pojęciem wielkości gwiazdowej (magnitudo). Tym, którzy nie wiedzą o co chodzi, polecamy niniejszy artykuł. Wyjaśnimy również jak wielkość gwiazdowa ma się do rzeczywistej jasności i jak na tę jasność wpływa odległość do obserwowanego obiektu.

Starożytni podzielili gwiazdy według jasności na sześć grup. Najjaśniejsze nazywali gwiazdami pierwszej wielkości, nieco słabsze – drugiej i tak dalej aż do gwiazd szóstej wielkości, które były z trudem dostrzegalne gołym okiem.

Kiedy pojawiła się możliwość zmierzenia rzeczywistej jasności gwiazd, okazało się że najjaśniejsze z nich świecą blaskiem około 100 razy większym niż te, które znajdują się na granicy widzialności. Wprowadzono skalę, która przypisywałaby gwiazdom liczby określające jasności tak, aby były one zbliżone do jasności określanych od czasów starożytnych.

Potrzebna do tego była skala logarytmiczna. I tak dwie gwiazdy różniące się o jedną wielkość gwiazdową różnią się rzeczywistą jasnością określoną ilość razy. Gwiazda drugiej wielkości gwiazdowej jest tyle razy jaśniejsza od gwiazdy trzeciej wielkości, ile razy gwiazda trzeciej wielkości jest jaśniejsza od obiektu o jasności cztery magnitudo (magnitudo to dokładnie to samo co wielkość gwiazdowa).

Dokładna wartość stosunku jasności równa jest… pierwiastkowi piątego stopnia ze 100. Ta dziwna liczba wynika z żądania, że gwiazdy różniące się o 5 wielkości gwiazdowych muszą 100 razy różnić się blaskiem.

Skali logarytmicznych używamy również w innych dziedzinach życia. Natężenie dźwięku mierzone decybelami to także skala zbudowana w logarytmiczny sposób. To samo możemy powiedzieć o częstotliwościach kolejnych dźwięków tworzących gamy muzyczne.

Po ścisłym zdefiniowaniu pojęcia wielkości gwiazdowych można skalę rozszerzyć na obiekty jaśniejsze (mają ujemne wielkości gwiazdowe) oraz te, które nie są dostrzegalne gołym okiem (mają więcej niż 6 magnitudo). Można też wprowadzić ułamkowe wielkości gwiazdowe.

Oto kilka przykładów jasności obiektów astronomicznych: Słońce -26,7 mag, Księżyc w pełni -12,7 mag, Księżyc w pierwszej kwadrze -10 mag, Wenus -4,5 mag, Mars (dzisiaj) +0,8 mag, Mars w czasie wielkiej opozycji -2,9 mag, Jowisz -2,6 mag, Saturn -0,5 mag, Syriusz -1,5 mag, Rigel +0,1 mag, Procjon +0,4 mag, Alfard +2,2 mag. Warto zwrócić uwagę, że im jasniej obiekt świeci, tym mniejsza liczba jest jego wielkością gwiazdową. To tak jak w filmie – rola pierwszoplanowa jest ważniejsza od drugoplanowej (im większy numer roli tym mniejszy udział w filmie.

Aby móc wykonywać obliczenia związane z wielkościami gwiazdowymi, potrzebna jest szczypta matematyki. Podstawą jest tu wzór Pogsona. Jeśli ilość światła docierająca do nas od dwóch obiektów wynosi odpowiednio I1 i I2, a ich jasności w wielkościach gwiazdowych m1 i m2, to spełniony jest związek:

m1 – m2 = -2,5 log I1/I2

(logarytm we wzorze jest logarytmem dziesiętnym).

Można teraz obliczyć ile razy Wenus (m1=-4,5) jest jaśniejsza od Syriusza(m2=-1,5). Należy przekształcić wzór do wygodniejszej postaci i wykonać obliczenia:

I1/I2 = 100,4(m2-m1) = 16 (w przybliżeniu).

Jako ćwiczenie rachunkowe prosimy o sprawdzenia ile razy blask Wenus jest większy od blasku Urana (5,5 magnitudo). Wynik powinien być około 10 tysięcy. Można też sprawdzić, że Słońce świeci około 400 tysięcy razy jaśniej niż Księżyc w pełni i około 10 bilionów razy jaśniej niż najsłabsze gwiazdy dostrzegalne przez ludzkie oczy.

Widać tu sens stosowania wielkości gwiazdowych. Dzięki nim nie musimy operować liczbami różniącymi się wartościami wiele milionów razy. Używamy po prostu liczb z pewnego niewielkiego zakresu.

A teraz kolejny problem rachunkowy. Układ podwójny składa się z gwiazd o identycznej jasności. Ile wynosi różnica między ich sumaryczną jasnością (wyrażoną w magnitudo) a jasnością każdej z nich osobna. Proszę sprawdzić, że jest to 0,75 mag. Jeśli każda z gwiazd ma jasność 3 mag, ich sumaryczna jasność to 2,25 mag. Jeśli każda z gwiazd świeci z jasnością 4 mag – ich sumaryczny blask to 3,25 mag.

Kolejna ważna informacja to stwierdzenie, że ilość światła docierająca od danego obiektu jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Jeśli swoją odległość od żarówki czy gwiazdy zwiększymy 3 razy, jej jasność zmniejszy się 9 razy. Jeśli zmniejszymy tę odległość trzykrotnie, blask dziewięciokrotnie się powiększy. Można ten fakt zapisać:

I ~ 1/d2

Policzmy więc ile wynosi jasność Słońca oglądanego z Urana (który jest 19,2 razy dalej od Słońca niż Ziemia). Odpowiednie równanie ma postać:

mu – mz = -2,5 log Iu/Iz = -2,5 log dz2/du2 = -5 log dz/du

“u” i “z” to indeksy dotyczące Urana i Ziemi, a przez d oznaczono odległości obu planet od Słońca. Cóż nam pozostaje? Podstawić wartości:

mu = mz – 5 log 1/19,2 = -20,3

I ostatnie zadanie: Z jakiej odległości możemy dostrzec Słońce gołym okiem, czyli jak daleko od Słońca znajduje się punkt, w którym jasność naszej gwiazdy wynosi zaledwie 6 magnitudo. Pozostawiamy Czytelnikom sprawdzenie, że musi to być odległość około 3,5 miliona razy większa od odległości Słońce – Ziemia (jednostki astronomicznej wynoszącej około 150 milionów kilometrów). Po przeliczeniu na używane w astronomii jednostki odległości przekonamy się, że gołym okiem Słońce dostrzec można będąc w odległości około 55 lat świetlnych.

Autor

Michał Matraszek