Przed tygodniem napisaliśmy o ruchu planet dolnych, dziś przyszedł czas na analizę ruchu planet górnych czyli wszystkich od Marsa począwszy. W przeciwieństwie do Merkurego i Wenus zdarzają się okresy, gdy możemy je podziwiać przez całą noc.

Jak poprzednio, dla uproszczenia obliczeń, załóżmy że orbity wszystkich planet są okręgami leżącymi w jednej płaszczyźnie. Promień orbity Marsa to 1,524 AU, Jowisza 5,203 AU, Saturna 9,539 AU, a Ziemi 1 AU (AU, jednostka astronomiczna to średnia odległość Ziemia – Słońce czyli 149,6 mln kilometrów).

Wszystkie planety obiegają Słońce w tym samym kierunku i zgodnie z prawami Keplera. Trzecie z nich mówi, że druga potęga okresu obiegu jest proporcjonalna do trzeciej potęgi średniej odległości:

T2 / r3 = const

T to okres obiegu, r – promień orbity planety.

Zakładamy do dalszych obliczeń, że okres obiegu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok czyli 365,25 dnia. Obliczamy stąd, że okresy obiegu planet górnych wynoszą: Mars 1,88 roku = 687 dni, Jowisz 11,87 roku = 4335 dni, Saturn 29,46 roku = 10761 dni. Potrzebne nam będą jeszcze tak zwane okresy synodyczne (Złączenie Saturna ze Słońcem, czyli “Co mają wspólnego planety i oporniki?”“>pisaliśmy już kiedyś czym one są). Dla Marsa wynosi on 780, dla Jowisza 399, a dla Saturna 378 dni.

Spójrzmy wreszcie na dołączony do tego tekstu schemat. Przedstawia on orbity Ziemi i jednej z planet górnych. Literą S oznaczono położenie Słońca, Z – Ziemi.

Planety krążą wokół Słońca z obliczonymi wcześniej okresami obiegu. Policzyliśmy jednak okresy synodyczne, a one ułatwią nam rachunki. Możemy przyjąć, że Ziemia jest na naszym schemacie nieruchoma, a Mars (lub inna z planet górnych) obiega Słońce nie w czasie równym okresowi obiegu, lecz okresowi synodycznemu. Tak więc na prezentowanym rysunku Ziemia pozostaje nieruchoma, planeta zaś porusza się ruchem jednostajnym po okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Przeanalizujmy jej ruch.

Rozpoczniemy od chwili, gdy planeta górna znajduje się w punkcie G. To tak zwane złączenie górne (bądź koniunkcja górna). W przypadku planet górnych mamy do czynienia tylko z tym jednym typem złączenia. Jeśli orbity leżą w jednej płaszczyźnie, obserwowane ciało niebieskie powinno znajdować się wtedy dokładnie za Słońcem (w rzeczywistości orbity są nieco nachylone, a planeta może znajdować się nieco powyżej lub poniżej tarczy gwiazdy). Odległość Ziemi i planety obliczyć można bardzo łatwo – wystarczy dodać do siebie promienie ich orbit. Łatwo też zauważyć, że odległość ta nie może być już większa (a co za tym idzie – rozmiary kątowe planety osiągają minimum). W czasie górnego złączenia planeta znajduje się w pełni, gdyż kieruje ku nam tę samą połowę, którą oświetla Słońce. Gdybyśmy w tym momencie byli na Marsie, powiedzielibyśmy, że to Ziemia jest w złączeniu górnym (dla planet górnych Ziemia jest planetą dolną).

Z biegiem czasu planeta przesuwa się w kierunku punktu W. Stopniowo rośnie kąt jaki tworzą odcinki łączące Ziemię ze Słońcem i z planetą. Ten kąt nazywamy elongacją. Proszę zwrócić uwagę, że z ziemskiego punktu widzenia planeta oddala się od Słońca na zachód. Musi więc wcześniej od niego wschodzić i wcześniej niż ono zachodzić. Im większa elongacja, tym ta różnica czasowa jest większa. Planetę możemy obserwować coraz dłużej na porannym niebie, przed wschodem Słońca. Ze wzrostem elongacji nieznacznie zmniejsza się faza planety, pozostając jednak między pełnią i kwadrą. Nieoświetloną swoją część planeta zwraca w kierunku odsłonecznym. Cały czas zmniejsza się jej odległość od Ziemi, a co za tym idzie – wzrastają jej rozmiary kątowe i jasność.

W końcu planeta osiąga punkt W. Prosta przechodząca przez nią i przez Ziemię staje się styczna do ziemskiej orbity (a więc kąt SZW jest kątem prostym, a trójkąt – trójkątem prostokątnym). Elongacja przyjmuje wartość 90 stopni. Mówimy o kwadraturze zachodniej (potencjalni mieszkańcy Marsa zobaczą wtedy Ziemię w maksymalnej wschodniej elongacji). Planeta w momencie kwadratury przyjmuje minimalną fazę. Nie jest to jednak połówka koła, ani nów. Widzimy zawsze jej większą część. W przypadku Marsa minimalna faza wynosi 88, dla Jowisza 99, a dla Saturna 99,7 procent. Łatwo się domyślić, że odstępstwo od pełni stosunkowo łatwo dostrzec możemy jedynie w przypadku Czerwonej Planety. W czasie kwadratury planeta świeci już przez kilka godzin przed wschodem Słońca. Jej odległość od nas można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa zapisanego dla trójkąta SZW. Dla Marsa wynosi ona 1,150 AU, dla Jowisza 5,106 AU, a dla Saturna 9,486 AU. Warto przy okazji obliczyć wartości kąta beta. Zastosować należy wzór:

sin (beta) = rz / rp

gdzie rp to promień orbity planety górnej, a rz – promień orbity Ziemi.

Łatwo obliczyć można, że dla Marsa kąt beta wynosi 41 stopni, dla Jowisza 11 stopni, a dla Saturna zaledwie 6 stopni (żyjąc na którymś z olbrzymów praktycznie nie moglibyśmy obserwować Ziemi, a tym bardziej Merkurego i Wenus). Ze względu na spłaszczenie orbit planet, kąty te różnią się nieco od tej wartości w czasie kolejnych kwadratur.

Planeta porusza się dalej, w kierunku punktu O. Kąt elongacji dalej rośnie. Planetę coraz lepiej widać na nocnym niebie. Jej faza ponownie dąży do pełni, odległość od Ziemi zmniejsza się, rozmiary kątowe rosną. Szybko też zwiększa się jej jasność.

W końcu planeta osiąga punkt O. To opozycja (obserwator na tej planecie powiedziałby, że Ziemia znajduje się w złączeniu dolnym). Planeta znajduje się po przeciwnej stronie Ziemi niż Słońce i ponownie jest w pełni, gdyż kieruje ku nam tę samą połowę, którą oświetla Słońce. Panują najlepsze warunki do jej obserwacji, gdyż jej odległość osiąga wartość minimalną (można ją policzyć jako różnicę promieni orbit Ziemi i planety), a kąt pod jakim widzimy planetę – wartość maksymalną. Elongacja osiąga wartość 180 stopni. Ze względu na różne nachylania orbit wartość elongacji jest zwykle nieznacznie mniejsza. Maksymalna jest też jasność planety. Z powodu spłaszczenia orbit różne mogą być odległości Ziemia-planeta. W przypadku Marsa różnice są tak duże, że niektóre z opozycji nazywamy wielkimi (odległość tej planety jest wtedy szczególnie mała, a Mars prezentuje się szczególnie efektownie).

Planeta kontynuuje swój ruch po okręgu w kierunku punktu E, czyli kwadratury wschodniej. Jak się łatwo domyślić, prawdziwe są stwierdzenia: Zwiększa się jej odległość od Ziemi. Faza planety dąży od pełni do stanu pośredniego między pełnią i kwadrą (minimalną fazę osiąga w punkcie E). Elongacja ponownie maleje. Planeta zachodzi i wschodzi jakiś czas po Słońcu. Czas na jej obserwacje to pierwsza połowa nocy. Z upływem dni jest widoczna coraz krócej. Odległość ZE = ZW (znowu potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa), kąt SZE jest prosty. Sytuacja jest zupełnie symetryczna – trójkąty SWZ i SEZ są przystające, ułożone symetrycznie względem prostej przechodzącej przez punkty O, Z, S i G.

W ciągu następnych miesięcy planeta pokonuje łuk EG i w końcu, po upływie okresu synodycznego od poprzedniego złączenia górnego, dochodzi do kolejnej koniunkcji górnej. Pętla się zamknęła, cykl rozpoczyna się od początku.

I znów nieco matematyki. Ile czasu mija od złączenia górnego do kwadratury zachodniej, a ile od tej kwadratury do opozycji? Skoro analizujemy ruch jednostajny po okręgu, zakreślane kąty muszą być proporcjonalne do upływu czasu. Suma kątów w trójkącie SWZ wynosi 180 stopni, kąt gamma musi więc być równy 49 stopni dla Marsa, 79 stopni dla Jowisza i 84 stopnie dla Saturna. Ułożenie prostej proporcji pozwoli na stwierdzenie, że na pokonanie łuku WO Mars potrzebuje 106 dni, Jowisz 87 dni, a Saturn 88 dni. Pokonanie łuku GW trwa odpowiednio 284 dni, 112,5 dnia i 101 dni.

I to wszystko. Jako ćwiczenie proponujemy ponowne przeanalizowanie Planety dolne na ziemskim niebie“>tekstu o ruchu planet dolnych i odpowiedzenie na pytanie: Co widzi ponętna Wenusjanka w momencie, gdy my obserwujemy któreś ze złączeń bądź którąś z maksymalnych elongacji Wenus?

Autor

Michał Matraszek