Treść

Zakładając, że wszechświat rozszerza się w taki sposób, że po dowolnym czasie odległość między dwoma obiektami odległymi o  równa jest . Oblicz czasy, w jakim sygnał świetlny pokonuje odległość między dwoma obiektami:

(a) leżącymi na przeciwległych brzegach Drogi Mlecznej,

(b) odległymi o .

Przyjmij, że . Jaka jest maksymalna odległość obiektu, którego światło możemy obserwować?
Mając dwa obiekty na niebie (ozn. A i B), odległe od siebie o kąt , każdy w odległości od Ziemi, wyznacz różnicę czasów między dotarciem do Ziemi dwóch sygnałów (sygnał 1 wysłany jest dokładnie w momencie, gdy odległość między Ziemią a obiektami wynosi ): sygnał 1 — pochodzący z obiektu A (wysłany izotropowo); sygnał 2 — odbity od obiektu B sygnał 1.

Autor: Michał Jagodziński

Rozwiązanie

Po upłynięciu dowolnego ustalonego czasu od dowolnego wybranego momentu, wszystkie odległości we wszechświecie zmienią się o czynnik . Zauważmy, że jest to praktycznie równoważne modelowi, w którym odległości pozostają stałe, a prędkości (w tym prędkość światła) zmieniają się o czynnik . Po dokonaniu takiego spostrzeżenia, rozwiązanie takiego zadania sprowadza się jedynie do obliczenia kilku bardzo prostych całek.
Jak bowiem wiadomo, całka z prędkości ciała po czasie to droga przebyta przez to ciało (pole powierzchni pod wykresem ). W naszym przypadku prędkość sygnału świetlnego po czasie wynosi . Stąd zapisujemy wzór na czas potrzebny na przebycie przez światło drogi (jak widzimy ją na początku):

Do rozwiązania pierwszej części zadania, za średnicę Drogi Mlecznej przyjmiemy przybliżoną średnicę obszaru, w którym średnia jasność powierzchniowa galaktyki jest większa niż ( isophotal diameter) — . Stąd:

Nietrudno zauważyć, że czynnik jest bardzo bliski zeru. Z tego względu zastosujemy rozwinięcie ze wzoru Taylora funkcji z dokładnością do czynników kwadratowych:

Widzimy więc, że w skali Drogi Mlecznej poprawka wynikająca z takiego modelu (zresztą na takich skalach ze względu na oddziaływania grawitacyjne nieprawdą byłoby, żeby Droga Mleczna powiększyła swoje rozmiary z powodu izotropowego rozszerzania się wszechświata), byłaby bardzo niewielka, rzędu ogólnego wyniku — dlatego czas ten można było obliczyć dzieląc po prostu średnicę galaktyki przez prędkość światła.
Dla przypadku dostajemy:

Widać więc, że w takiej skali różnica czasów jest już istotna.

Chcemy oszacować promień widzialnego wszechświata, a więc maksymalną możliwą odległość, z której możemy obserwować dany obiekt. Przeanalizujemy więc ruch fotonu, który został wysłany z tej maksymalnej obecnie odległości (jest to odległość współporuszająca się, comoving — obecna; nie jest to odległość między punktem symbolizującym Ziemię i miejscem wysłania fotonu we wczesnym wszechświecie) w pobliżu momentu powstania wszechświata. Przyjmiemy wiek wszechświata . Wówczas mamy:

Jest to gargantuiczny wynik, co może wskazywać na niepoprawność naszego modelu (lub jego interpretacji?) dla długiego analizowanego czasu.

Rozwiązanie ostatniego podpunktu to w zasadniczym zakresie skorzystanie z faktu, iż rozszerzanie się wszechświata w danym w zadaniu modelu jest izotropowe, zatem wpływu na czas przekazania informacji nie ma kształt drogi, którą w danym momencie ma pokonać sygnał, a jedynie jej całkowita długość. Droga sygnału 1 ma długość , zaś droga sygnału 2 (z twierdzenia cosinusów) ma długość: . Teraz korzystając ze wzoru na czas potrzebny na przebycie ustalonej drogi, zapisany w pierwszej części rozwiązania otrzymujemy:

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka