II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 5 serii

Treść

Obecne współrzędne dwóch składników $\alpha$ Centauri są podane w poniższej tabeli.

Gwiazda	α (RA)	δ (Dec)
α Centauri A	$14^h 39^m 36,5^s$	$-60^o 50' 02''$
α Centauri B	$14^h 39^m 35,1^s$	$-60^o 50' 14''$

Gwiazdy obserwowano za pomocą Teleskopu Warszawskiego w Obserwatorium Las Campanas w Chile. Teleskop ma średnicę $1,3 \, \mathrm{m}$ i ogniskową $13,5 \, \mathrm{m}$ . Wyposażony jest w kamerę CCD o rozdzielczości $2048 \times 4096$ pikseli, z których każdy ma rozmiar $24 \, \mathrm{\mu m} \times 24 \, \mathrm{\mu m}$ .

Czy oba składniki układu mogą być jednocześnie uchwycone w jednym kadrze kamery?
Jaki jest kąt pozycyjny drugiej gwiazdy względem kierunku północnego?

Autor: Rafał Bryl

Rozwiązanie

Policzmy różnice współrzędnych

$\Delta\alpha = \alpha_B - \alpha_A = 35,1\ \text{s} - 36,5\ \text{s} = -1,4\ \text{s}.$

$1\ \text{s} = 15''$ , więc

$\Delta\alpha = -1,4\cdot 15 = -21,0''.$

$\Delta\delta = \delta_B - \delta_A = -60^\circ 50'14'' - (-60^\circ 50'02'') = -12,0''.$

Projekcja różnicy rektascensji wyniesie:

$x = \Delta\alpha \cos\delta = -21,0'' \cdot 0,487 \approx -10,234''.$

Składowa północ–południe:

$y = \Delta\delta = -12,0''.$

Odległość kątową w przybliżeniu płaskiej powierzchni możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa

$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-10,2337'')^2 + (-12,0'')^2} \approx 15,77''.$

Teraz policzmy pole widzenia i sprawdźmy czy układ mieści się w kadrze.

Skala obrazu (arcsec/piksel):

$s = \frac{206265\cdot p}{f} = \frac{206265\cdot 0,024}{13500} \approx 0,3667''/\text{px}.$

Pole widzenia (FOV) po krótszym boku:

$\mathrm{FOV}_{\min} = 2048\cdot s \approx 750,99'' \approx 12,52'.$

Ponieważ $l \approx 15,77'' \ll 750,99''$ , obie gwiazdy spokojnie zmieszczą się w jednym kadrze.

Znajdźmy jeszcze kąt pozycyjny (PA). Kontynuujemy korzystanie z wcześniejszego przybliżenia i zapiszemy wzór na kąt pozycyjny

$\mathrm{PA} = 180^\circ + \arctan\!\left(\frac{|x|}{|y|}\right) = 180^\circ + \arctan\!\left(\frac{10,2337}{12,0}\right).$

gdzie $x$ — składowa w kierunku wschodnim (tutaj ujemna w stronę zachodu), $y$ — składowa w kierunku północnym (tu ujemna w stronę południa). (x < 0 i y < 0 — III ćwiartka względem osi północ–wschód),

$\arctan\!\left(\frac{10,2337}{12,0}\right) \approx 40,46^\circ \Rightarrow \mathrm{PA} \approx 180^\circ + 40,46^\circ = 220,46^\circ.$

Podsumowując:

separacja: $l \approx 15,77''$ ,
obie gwiazdy mieszczą się w jednym kadrze ( $\mathrm{FOV}_{\min} \approx 750,99''$ ),
kąt pozycyjny: $\mathrm{PA} \approx 220,46^\circ$ .

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka

Treść

Rozwiązanie

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 5 z 6 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 4 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 4 z 3 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 1 serii