Dzisiaj (21 października) około 22:00 Księżyc w odległości 7 stopni kątowych minie świecącego w Lwie Marsa. Obserwacje prowadzić należy w drugiej połowie nocy, najlepiej krótko przed świtem.
Mars ukaże się ponad wschodnim horyzontem dopiero około 40 minut po północy. Spójrzmy na niebo o 5:15, 2 godziny przed wschodem Słońca.
Czerwoną Planetę (świecącą blaskiem +1,2 magnitudo z odległości 248 milionów kilometrów) zobaczymy 40 stopni ponad południowo-wschodnim widnokręgiem. Księżyc (w fazie 29 procent) świecić będzie 8 stopni niżej.
W pobliżu znajdzie się jeszcze niebieskawy Regulus (najjaśniejsza gwiazda Lwa, +1,4 magnitudo), tworząc z Marsem i Srebrnym Globem trójkąt „prawie” równoramienny i prostokątny (z kątem prostym przy Księżycu).
Żeby być ścisłym: Mamy tu do czynienia nie z trójkątem znanym z lekcji matematyki, płaskim o sumie kątów 180 stopni. Trójkąty które rysujemy na niebie, to trójkąty sferyczne, zbudowane z łuków. Suma katów wewnętrznych takich trójkątów jest zawsze większa od 180 stopni, a wykonywanie obliczeń dotyczących tych figur wymaga znajomości trygonometrii sferycznej i jest znacznie trudniejsze niż wzory, które poznaje się w szkole.
Proszę spróbować wyobrazić sobie trójkąt na powierzchni Ziemi, którego wierzchołki znajdują się na biegunie północnym i w dwóch punktach równika odległych w długości geograficznej o 90 stopni… Tak, ten trójkąt ma 3 kąty proste!
Zachęconych tym drobnym wstępem do trygonometrii sferycznej zapraszamy do porannych obserwacji w sobotę!
Andrzej Karoń
ORTODROMA + Rozwiązania trójkątów sferycznych — W przypadku astronomii miłośniczej, rozwiązania trójkątów sferycznych sprowadzają się najczęściej do określenia tzw. ORTODROMY, czyli najkrótszej drogi pomiędzy dwoma punktami na sferze niebieskiej = odległości kątowej między dwoma ciałami niebieskimi.
ORTODROMA może też służyć do obliczenia najkrótszej drogi dzielącej 2 punkty na powierzchni kuli – czyli np. dwóch miast na powierzchni kuli ziemskiej…
Chcąc obliczyć odległość kątową między dwoma ciałami niebieskimi, wystarczy się posłużyć tym nieco skomplikowanym (jedynie na pierwszy rzut oka) wzorem:
WZÓR-1
D = arc cos [sin d1 * sin d2 + cos d1 * cos d2 * cos (a1-a2)]
gdzie:
d1 – deklinacja ciała niebieskiego 1 (delta1)
d2 – deklinacja ciała niebieskiego 2 (delta2)
a1 – rektascensja ciała niebieskiego 1 (alfa1)
a2 – rektascensja ciała niebieskiego 2 (alfa2)
W identyczny sposób można obliczyć odległość między dwoma punktami na kuli ziemskiej:
WZÓR-2
D = arc cos [sin f1 * sin f2 + cos f1 * cos f2 * cos (l1-l2)]
gdzie:
f1 – szerokość geogr. [N/S] punktu 1 (fi 1)
f2 – szerokość geogr. [N/S] punktu 2 (fi 2)
l1 – długość geogr. [W/E] punktu 1 (lambda 1)
l2 – długość geogr. [W/E] punktu 2 (lambda 2)
UWAGI: dla szerokości geogr.: [N] wpisujemy wartość dodatnią, dla [S] ujemną. Podobnie jest też z długością geograficzną, ale tu jest o tyle łatwiej, że we wzorze stosuje się ich różnicę: DELTA (l1-l2).
Ponieważ wynik otrzymuje się w stopniach kątowych, więc trzeba go przeliczyć na kilometry:
odległość w km = D * 111,19
gdzie:
111,19 – to średnia wartość obwodu Ziemi : 360
…czyli stosując odpowiedni przelicznik:
D * [(2*PI*r) : 360] – można obliczyć (jak ktoś ma ochotę) odległość dwóch punktów na np. Księżycu, czy Marsie, albo odległość dwóch grup plam na Słońcu, itd. !
Dwa przykłady obliczania odległości kątowej:
1) W AstroNewsie – do którego tyczy się ten komentarz – podano, iż Księżyc świecił 8 stopni (kątowych) niżej Marsa. Niedaleko też znajduje się dość jasna gwiazda Regulus, jaka była odległość kątowa między Marsem a Regulusem wtedy?
Dane: Rektascencje i Deklinacje Mars i Regulusa z 21.X ok.20:00 UT
Mars – 09h29m (a1) 16st.29,6′ (d1)
Regulus – 10h09m (a2) 11st.54,4′ (d2)
Ponieważ Rektascencja jest podawana w postaci: 00h-24h, a potrzeba nam znać ją w postaci kątowej, więc trzeba ją przeliczyć:
alfa(kątowo) = [(xx [h] * 15) + (yy [m] * 15) / 60]
Wyszło mi w przypadku Marsa, że jego Rektascencja w postaci kąta wynosi: 142,25st., a Regulusa 152,25st., czyli różnica 10 st. (ale tylko ich Rektascencji, nie odległości kątowej!)
Podstawiając dane do WZORU-1, otrzymałem wynik:
-> odległość kątowa Marsa i Regulusa = niecałe 11 stopni
2) Teraz coś prostszego: jaka jest najmniejsza odległość w km między Warszawą a Tokio?
Dane:
Warszawa: 52st.14’N 21st.00’E
Tokio: 35st.41’N 139st.46’E
Korzystając ze WZORU-2, otrzymałem odległość (kątową) 77,26 stopnia, czyli po przeliczeniu przez współczynnik 111,19:
-> najmniejsza odległość Warszawy i Tokio = 8591 km.
To się może (kiedyś) przydać: rozwiązania DOWOLNYCH trójkątów sferycznych.
Znając trzy elementy trójkąta sferycznego można obliczyć pozostałe elementy, korzystając z poniższych wzorów – w zależności od konkretnego przypadku…
1) Dane: a, b, c (trzy boki):
cos A = (cos a – cos b * cos c) : (sin b * sin c)
cos B = (cos b – cos c * cos a) : (sin c * sin a)
cos C = (cos c – cos a * cos b) : (sin a * sin b)
2) Dane: A, B, C (trzy kąty):
cos a = (cos A + cos B * cos C) : (sin B * sin C)
cos b = (cos B + cos C * cos A) : (sin C * sin A)
cos c = (cos C + cos A * cos B) : (sin A * sin B)
3) Dane: a, b, C (dwa boki i kąt między nimi zawarty):
cos c = (cos a * cos b) + (sin a * sin b * cos C)
ctg A = [(sin b + ctg a) : sin C] – (cos b * ctg C)
ctg B = [(sin a + ctg b) : sin C] – (cos a * ctg C)
4) Dane: A, B, c (dwa kąty i bok między nimi):
cos C = (-cos A * cos B) + (sin A * sin B * cos C)
ctg a = [(sin B + ctg A) : sin c] + (cos B * ctg c)
ctg b = [(sin A + ctg B) : sin c] + (cos A * ctg c)
5) Dane: a, b, A (dwa boki i kąt przeciwległy jednemu z nich):
sin B = sin A * (sin b : sin a)
ctg (C : 2) = [cos (a+b):2] : [cos (a-b):2] * [tg (A+B):2]
sin c = sin a * (sin C : sin A)
6) Dane: A, B, a (dwa kąty i bok przeciwległy do jednego z nich):
sin b = sin a * (sin B : sin A)
tg (c : 2) = [cos (A+B):2] : [cos (A-B):2] * [tg (a+b):2]
sin C = sin A * (sin c : sin a)
Michał M.
Drobna uwaga — Dawno, dawno temu trygonometria sferyczna była postrachem uczestników Olimpiady Astronomicznej. Może nadal jest.
Jeśli tylko jako na ławkach uczestników finału jako pomoc naukowa pojawiała „Astronomia Ogólna” Eugeniusza Rybki, już podejrzewaliśmy, że szykuje się zadanie ze sferycznej.
Przy okazji: Współrzędna w układzie równonocnym to rektascensja, a nie rektascencja. Poprawna jest forma użyta na początku wykładu znajdującego się powyżej:-)
A wzór na odległość dwóch miast jest bardzo sympatyczny. Wcielając go w życie w Excelu pamiętać należy, że domyślną jednostką kątów w tym programie są radiany a nie stopnie.
kleryk123
Rozwiązywanie Trojkatów Sferycznych — Dzień dobry,
Niedawno zainspirowany tym artykułem postanowiłem napisać program który będzie wyliczał dowolne trójkąty sferyczne jednakże okazało się że 5 wzorów które zamieściłeś są wadliwe chodzi mianowicie oto że wzory do których użyłeś ctg nie działają poprawnie tudzież zaniżają wyniki. Niestety nie jestem aż tak dobry z matematyki by móc samemu to poprawić. Stąd moje pytanie czy byłby ktoś skłonny pomóc mi i poprawić te 5 wzorów tudzież jeśli jednak działają może powiedzieć jak ich użyć?
Pozdrawiam.