Siedmioletni chłopiec zapytał w jadącym tramwaju swojej mamy: “Czy jeśli teraz podskoczę, to czy wyląduję bliżej końca tramwaju? Przecież on w tym czasie przejedzie kawałek!“. Mama uśmiechnęła się i obudziła w dziecku duszę eksperymentatora: “Podskocz i sprawdź!“. Chłopiec podskoczył i, ku swojemu zdziwieniu, wylądował w tym samym miejscu wagonu.

Opisane wydarzenie miało miejsce przeszło 20 lat temu w tramwaju linii 25 jadącym alejami Armii Czerwonej w Łodzi. Musiało upłynąć wiele lat zanim chłopak zrozumiał pojęcie układu inercjalnego i siły bezwładności.

Pytanie nie było głupie mimo, że wynikało ze znudzenia długą podróżą. Odpowiedź na nie kryje się w prawach dynamiki sformułowanych przez Isaaca Newtona. Przypomnijmy je:

I. Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej

II. Jeżeli na ciało działa niezerowa siła wypadkowa, to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do tej siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. Zapisujemy to jako a=F/m

III. Jeżeli ciało A działa ciało B pewną siłą, to ciało B działa na ciało A siłą o tym samym kierunku, przeciwnym zwrocie i tej samej wartości.

Te trzy mądrości wystarczą nam do rozważenia problemu ruchu podskakującego dziecka.

Wyobraźmy sobie najpierw że tramwaj stoi na przystanku. Nikogo nie dziwi, że skaczące dziecko ląduje w miejscu z którego skoczyło… a może powinno dziwić? Chłopiec wyskakuje na wysokość około h=20cm, a to oznacza że jego lot trwa około t=0,4s, gdyż czas wznoszenia i czas spadania opisane są tym samym wzorem:

1/2*t = (2*h/g)0,5 = 0,2s

gdzie t – czas trwania lotu do góry i w dół, a g=10m/s2 – przyspieszenie ziemskie. Poruszająca się z prędkością 30 kilometrów na sekundę Ziemia przesunęła się w tym czasie o 12 kilometrów. Dziecko powinno wylądować na rogatkach miasta!

Chyba w tym miejscu widać już, że jadący względem ulicy tramwaj jest tym samym, czym Ziemia poruszająca się względem Słońca i że w środkach komunikacji publicznej możemy podskakiwać dość swobodnie. Czemu więc w autobusach i tramwajach należy “w czasie jazdy trzymać się uchwytów lub poręczy“? Otóż z tramwajem dzieje się czasem coś takiego, że jest to niezbędne.

Wróćmy do tramwaju linii 25 oczekującego na odjazd na krańcówce przy stadionie Widzewa (patriotyzm lokalny nakazuje mi nie używać słowa “pętla”). Chłopak skacze w górę z prędkością v=2m/s. Zakładamy, że opór powietrza jest zaniedbywalny. Jedyną działającą siłą jest siła grawitacji. Jeśli dziecko ma masę m=20kg, siła jest równa około

Q = m*g = 200N (niutonów)

Siła ta działa pionowo w dół. Jaki ruch wywoła? Jednostajnie opóźniony, a od momentu wzniesienia się na maksymalną wysokość – jednostajnie przyspieszony (II zasada dynamiki). Opóźnienie, a następnie przyspieszenie równe będzie przyspieszeniu ziemskiemu. Skoro poziomo (do przodu, do tyłu wagonu i na boki) nie działają żadne siły, to ruch dziecka w tym kierunku nie ulega zmianie, jest to spoczynek (I zasada dynamiki).

Nie zapominajmy jednak o pasażerach czekających na tramwaj innej linii. Stoją oni na przystanku, a ruch chłopca względem nich jest identyczny z ruchem względem wagonu. Jego analiza jest więc także identyczna.

Lecz oto ten sam tramwaj ruchem jednostajnym z prędkością u=10m/s jedzie po prostym torowisku. Dziecko porusza się wraz z nim. Skacze. Ktoś obserwujący ruch z zewnątrz tramwaju stwierdzi, że prędkość dziecka ma w tej chwili dwie składowe – pionową równą v=2m/s i poziomą równą u=10m/s. Z jego punktu widzenia jest to.. rzut ukośny pod kątem, którego tangens równy jest v/u=2/10. Jakie siły działają na lecącego chłopaka? Nadal tylko grawitacja i nadal w dół. Z II prawa Newtona wynika więc, że ruch w kierunku góra-dół będzie najpierw ruchem jednostajnie opóźnionym a następnie jednostajnie przyspieszonym. Ile czasu będzie trwał? Tyle samo co poprzednio, cztery dziesiąte sekundy, bo przecież siła grawitacji, masa chłopca i przyspieszenie ziemskie nie uległy zmianie.

A co z ruchem w kierunku poziomym? Będzie jednostajny, bo w tym kierunku nie działa żadna siła. W układzie związanym z chodnikiem tramwaj przejechał w czasie lotu chłopca odległość

s = u*t = 4m

Jednocześnie taką samą drogę pokonał w tym kierunku chłopiec (bo miał taką samą prędkość). Wylądował więc 4 metry bliżej kolejnego przystanku niż podskoczył. Ale skoro wagon też się o tyle przesunął, lądowanie nastąpiło w tym samym miejscu tramwaju.

A jak wygląda analiza, którą przeprowadzić może mama dziecka siedząca obok? Będzie ona identyczna z tą, której dokonaliśmy we wnętrzu pojazdu chwilę wcześniej. Przecież fakt, że tramwaj jedzie nie powoduje, że na skaczącego chłopca miałaby zacząć działać jakaś dodatkowa siła – nadal mamy tylko siłę grawitacji.

Zrozumiałe jest więc, że skok w jadącym ze stałą prędkością tramwaju zakończy się w tym samym miejscu wagonu, w którym się rozpoczął. Oglądany z chodnika, zakończy się 4 metry dalej, ale tramwaj skaczącemu spod nóg nie ucieknie. Do opisu potrzebne nam były tylko prawa dynamiki i siła grawitacji.

Zbliża się jednak kolejny przystanek i tramwaj zaczyna hamować. Niech jego opóźnienie równe będzie a=1m/s2. Skok chłopca rozpoczyna się, gdy prędkość pojazdu wynosi u=10m/s.

Patrzymy najpierw z zewnątrz, z chodnika. Chłopiec skoczył mając pionową prędkość v=2m/s i poziomą u=10m/s, działała tylko grawitacja, leciał t=0,4s, wylądował więc s=4m dalej. A ile przejechał tramwaj ruchem opóźnionym?

l = u*t – 0,5*a*t2 = 10m/s*0,4s – 0,5*1m/s2*(0,4s)2 = 3,92m

A to oznacza, że chłopiec przebył drogę o 8 centymetrów większą niż tramwaj. Wyląduje więc o

x = s-l = 8cm

bliżej przodu wagonu niż podskoczył. Ale nie jest to wynikiem działania żadnej dodatkowej siły, niczego co by go pociągnęło do przodu. Po prostu tramwaj zwolnił gdy on leciał.

A co zobaczą pasażerowie? Chłopak skoczył w górę i wylądował x=8cm bliżej motorniczego. Ruch w kierunku poziomym był… jednostajnie przyspieszony, trwał t=0,4s. Przyspieszenie musiało więc wynosić

a' = 2*x/t2 = 2*0,08m/(0,4s)2 = 1m/s2

Cóż to za siła działała w kierunku poziomym i powodowała przyspieszanie chłopca obserwowane przez osoby znajdujące się w wagonie? Jej wartość musiała wynosić

F = m*a' = 20kg*1m/s2 = 20N

To właśnie siła bezwładności. Proszę zwrócić uwagę, że pojawia się ona tylko w niektórych układach odniesienia, w innych jest niepotrzebna.

Trzeba mieć świadomość jeszcze jednego faktu – nie można wskazać źródła tej siły. Grawitację wywołuje masa Ziemi, reakcja ze strony krzesła na którym teraz siedzisz powoduje, że nie spadasz w kierunku środka naszej planety. A co może być źródłem siły powodującej przyspieszony ruch pasażera w kierunku motorniczego w hamującym (lub w kierunku tyłu wagonu w rozpędzającym się) tramwaju?

Nie ma takiego źródła! Siła bezwładności z tego powodu bywa też zwana siłą pozorną. Pozorność wynika także z faktu, że jest ona w zasadzie tylko efektem geometrycznym – to z układem odniesienia (zawiązanym z hamującym tramwajem) “coś jest nie tak”, w innym układzie (chodnik) żadnej siły pozornej wszak nie ma.

Taki układ odniesienia, w którym do opisu ruchu potrzebna jest siła bezwładności nazywamy układem nieinercjalnym. W naszym przypadku był nim hamujący tramwaj. Jeśli siły bezwładności nie są potrzebne, mamy do czynienia z układem inercjalnym. Takim układem (z bardzo dobrym przybliżeniem) jest układ związany z Ziemią (z przystankiem tramwajowym w naszym przypadku).

Jedno z praw mechaniki mówi, że jeśli jakiś układ porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układu inercjalnego, to sam też jest inercjalny. Z tego właśnie powodu tramwaj jadący po linii prostej ze stałą prędkością takim układem był. Nie grozi nam też nic jeśli podskoczymy na mknącej przez przestrzeń kosmiczną Ziemi. Wraz z nią, w czasie trwającego 0,4 sekundy lotu, przemieścimy się o około 12 kilometrów. Nie będzie żadnej siły bezwładności, która mogłaby zrobić nam krzywdę.

Ktoś bardzo dociekliwy mógłby w tym miejscu zaoponować: przecież Ziemia nie porusza się po prostej, ale po okręgu wokół Słońca. Zostawmy jednak ten szczegół, wymagałby on między analizy takich pojęć jak masa bezwładna i grawitacyjna.

A jeśli tramwaj skręca? Czy jest nadal układem inercjalnym? Nie jest, przecież jego ruch względem Ziemi nie jest wtedy ruchem jednostajnym prostoliniowym. Pasażer jedzie do przodu z pewną prędkością, a skręcający tramwaj wysuwa mu się spod nóg skręcając na przykład w lewo. Efekt? Pasażer ląduje na prawej ścianie pojazdu. Powie, że działała na niego siła odśrodkowa skierowana w prawo. Z punktu widzenia człowieka na chodniku żadnej siły odśrodkowej nie ma – pasażer jechał prosto i chciał tę jazdę kontynuować (I zasada dynamiki), ale tramwaj odbił w lewo i uderzył klienta komunikacji miejskiej prawą ścianą.

Siła odśrodkowa jest tylko siłą pozorną, geometryczną własnością obracających się (nieinercjalnych) układów odniesienia. Nie ma żadnego bezpośredniego związku z grawitacją czy jakimś innym konkretnym rodzajem oddziaływań. Aby wyjaśnić jej istnienie nie trzeba tworzyć nowej fizyki ani obalać teorii względności.

Jeżeli mnie albo wszystkim coś się wydaje, nie oznacza to wcale, że tak jest w istocie. Ale należy przede wszystkim zadać sobie pytanie, czy ma sens podawanie tego w wątpliwość” (Ludwik Wittgenstein, austriacki filozof i logik). Pojęcia układu inercjalnego podawać w wątpliowść chyba nie ma sensu.

Właśnie z powodu nieinercjalności układu odniesienia, w czasie jazdy należy trzymać się uchwytów. Nigdy nie wiadomo kiedy tramwaj zacznie gwałtownie hamować i pojawi się siła bezwładności rzucająca pasażerów naprzód (ktoś w układzie inercjalnym powie, że tramwaj wysunie się do tyłu pasażerom spod nóg). Ostrzeżenie powinno więc brzmieć: “Tramwaj może bez ostrzeżenia stać się układem nieinercjalnym! Trzymaj się uchwytu lub poręczy!“… swoją drogą – to pomysł na wlepkę 😉

Nasz tramwaj dojechał w końcu do drugiej krańcówki i zawraca na pętli. Skręcający (i tylko skręcający) tramwaj wydaje z siebie często bardzo charakterystyczny gwizd (szczególnie dotyczy to starszych modeli). Ci Czytelnicy, którzy mieszkają z pobliżu krańcówek nie mogli go nie słyszeć. Czy ktoś wie skąd się ten gwizd bierze? Tym razem nie ma to żadnego związku z nieinercjalnością układu odniesienia, ale z punktu widzenia fizyki, matematyki i kolejnictwa jest ciekawe.

Autor

Michał Matraszek

Komentarze

  1. jacek    

    ależ sie miło czytało 🙂 — jakżesz to miło teraz się będzie za te uchwyty w tramwaju trzymać,
    człowiek był poniewierany przez dużą część swojego życia i nawet mu do głowy nie przyszło, jakież to kosmiczne prawa nim rządzą podczas tej poniewierki, ileż to praw nim pomiata (o bezprawiu już nawet niewspominając). Co ciekawe, większość tych fantastycznych dywagacji powstaje właśnie w wagonach, ot choćby taki Pan Albert E. podobno jadąc tramwajem większość swych teorii popełnił był. Zdaje się, że to “bujanie” ma zbawienny wpływ na niejeden umysł. Mam oczywiście na myśli nas, czytelników 🙂
    pozdrowienia
    p.s
    a czy aby ten gwizd, to niejest czasem efekt tarcia bocznego kół o szyny na tej pętli?

    1. Michał M.    

      Owszem 😉

      > a czy aby ten gwizd, to niejest czasem efekt tarcia bocznego kół
      > o szyny na tej pętli?

      Owszem, zewętrzne koło musi na zakręcie pokonać większą drogę niż wewnętrzne, a koła są zespawane na sztywno (w samochodzie każde może się kręcić inaczej). I gdzieś musi następować jakieś ocieranie.

      W pociągach koła mają specjalnie wyprofilowane kształty i toczą się w zakrętach bez zgrzytów (które byłyby chyba znacznie głośniejsze bo pociagi szybciej jadą). Koła są stożkami ściętymi o mniejszych podstawach skierowanych na zewnątrz torów. Pociąg jedzie jakby w rynnie. Na zakrętach się trochę wychyla z położenia poziomego i każde koło toczy się po szynie po troszkę innym obwodzie – większym po zewnętrznej stronie.

      1. M.E.    

        Owszem 😉 cd.

        > Owszem, zewętrzne koło musi na zakręcie pokonać większą drogę niż
        > wewnętrzne, a koła są zespawane na sztywno (w samochodzie każde
        > może się kręcić inaczej). I gdzieś musi następować jakieś ocieranie.
        >
        > W pociągach koła mają specjalnie wyprofilowane kształty i toczą się
        > w zakrętach bez zgrzytów (które byłyby chyba znacznie głośniejsze
        > bo pociagi szybciej jadą). Koła są stożkami ściętymi o mniejszych
        > podstawach skierowanych na zewnątrz torów. Pociąg jedzie jakby w
        > rynnie. Na zakrętach się trochę wychyla z położenia poziomego i
        > każde koło toczy się po szynie po troszkę innym obwodzie – większym
        > po zewnętrznej stronie.

        W tramwajach nie stosuje się wyżej opisanej metody ze względu na zbyt małe promienie łuków. Koła tramwajowe są walcami. Zakłada się z góry, że na zakrętach będzie występował poślizg i z tego powodu zestawy kołowe są odpowiednio przewymiarowane, żeby wytrzymały dodatkowe naprężenia.

  2. alpha    

    swietny tekst! — poprostu super!
    jeden taki tekst tlumaczy wszystkie lekcje fizyki w gimnazjum z zakresu ruchow prostoliniowych i jeszcze wiecej. najgorsze jest to ze po tych lekcjach kazdy zna na pamiec wszystkie wzory, ale ich nie rozumie. natomiast tutaj nie koniecznie trzeba zapamietac wzorki, wazne ze wiemy dlaczgo sie cos dzieje, dlaczego jest tak a nie inaczej. GRATULUJE!

  3. Artur    

    inne tramwajowe doswiadczenia — chcialbym nieco wrocic na pole fizyki 🙂

    otoz zdarzylo mi sie kiedys robic doswiadczenia – wlasnie w tramwaju. bylem w zupelnie innym wieku (liceum). udalo mi sie sprawdzic pewna rzecz organoleptycznie.
    byla zima. straszna, sroga, mrozna. w tramwaju bylo prawie pusto. wypuscilem z siebie klab pary. dostrzeglem cos podejzanego, wiec jak tylko czesto moglem wypuszczalem z siebie kolejne kleby (niepalacy jestem – mam tylko wlasna pare do dyspozycji).
    no dobra – skracajac. udalo mi sie zaobserwowac ruch pary, a przez to i powietrza przy hamowaniu. lekki efekt byl rowniez przy ruszaniu, choc jak wiemy “delta v” jest mniejsze niz przy hamowaniu. natomiast targanie powietrzem w kierunki przeciwne, niz krzywe tory bylo na progu “mierzalnosci” 🙂
    wnioski: udalo mi sie zaobserwowac, ze powietrze ma mase! gdyby nie mialo, nie poruszaloby sie bezwladnie 🙂
    moze nie jest to zbyt swiatly wniosek jak na licealiste, ale opisywanemu malemu Michalkowi (i podobnym mu nastepcom) doswiadczenie moze sie spodobac 🙂

    pozdrawiam

Komentarze są zablokowane.