II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 4 serii

Treść

Na jakiej wysokości nad horyzontem znajduje się Wenus w chwili wschodu Słońca w Warszawie
( $\varphi_w = 52^\circ 13'56''$ ) w dniu, w którym współrzędne Wenus i Słońca wynoszą:

$\alpha_w = 01^\text{h}03^\text{m}10^\text{s}, \ \delta_w = 4^\circ 42'32'',$

$\alpha_s = 03^\text{h}35^\text{m}21^\text{s}, \ \delta_s = 19^\circ 17'16''.$

Przyjmij wartość refrakcji blisko horyzontu za $33'$ i pamiętaj, żeby uwzględnić, że może się ona zmieniać w zależności od wysokości.

Autor: Rafał Bryl

Rozwiązanie

Przyjmujemy, że momentem wschodu Słońca jest chwila, gdy górny brzeg tarczy Słońca styka się z pozornym horyzontem. Wtedy geometryczna wysokość środka Słońca wynosi:

$h^{(\mathrm{geom})}_S = -\big( R_{\mathrm{ref}}(0^\circ) + r_\odot \big),$

gdzie przyjmujemy refrakcję blisko horyzontu $R_{\mathrm{ref}}(0^\circ)=33'$ oraz promień kątowy Słońca $r_\odot \approx 16'$ . Zatem

$h^{(\mathrm{geom})}_S = -(33' + 16') = -49' = -0,817^\circ.$

Zamieńmy współrzędne, aby były wyrażone w stopniach:

$\varphi = 52^\circ 13'56'' = 52,232^\circ,$

$\alpha_W = (1 + 3/60 + 10/3600)\ \text{h} = 1,0527778\ \text{h} = 15,792^\circ,$

$\alpha_S = (3 + 35/60 + 21/3600)\ \text{h} = 3.589\ \text{h} = 53,838^\circ,$

$\delta_W = +4,709^\circ,\ \delta_S = +19,288^\circ.$

Następnie obliczymy godzinowy kąt Słońca $t$ w chwili wschodu. W tym celu skorzystamy z równania na trójkąt sferyczny przy zamianie współrzędnych horyzontalnych i równikowych (więcej w artykule z serii Przygotowanie do Olimpiady Astronomicznej: Trójkąt paralaktyczny):

$\sin h = \sin\varphi \sin\delta + \cos\varphi \cos\delta \cos t.$

Dla Słońca podstawiamy $h = h^{(\mathrm{geom})}_S = -0.817^\circ$ i rozwiązujemy dla $t$ :

$\cos t = \frac{\sin h_S - \sin\varphi \sin\delta_S}{\cos\varphi \cos\delta_S}.$

Obliczenia dają $\cos t \approx -0,47634 \Rightarrow t \approx 241,55^\circ.$

Teraz możemy znaleźć godzinny kąt Wenus. Kąt godzinny dowolnego obiektu to $t = \mathrm{LST} - \alpha$ , gdzie LST oznacza lokalny czas gwiazdowy (z j. ang. local sidereal time), a $\alpha\ to rektascensja obiektu.
Ponieważ w tym momencie $\mathrm{LST} = \alpha_S + t$ , godzinowy kąt Wenus wynosi

$t_W = \mathrm{LST} - \alpha_W = t_S + (\alpha_S - \alpha_W).$

Zatem (w stopniach):

$t_W \approx 241,55^\circ + (53,84^\circ - 15,79^\circ) \approx 279,60^\circ.$

Znając kąt godzinny z trójkąta paralaktycznego możemy wyliczyć geometryczną wysokość Wenus:

$\sin h_W = \sin\varphi \sin\delta_W + \cos\varphi \cos\delta_W \cos t_W.$

Podstawiając wartości otrzymujemy

$h^{(\mathrm{geom})}_W \approx 9,595^\circ \approx 9^\circ 35'42''.$

Pozostaje nam uwzględnić refrakcję atmosferyczną dla Wenus. Refrakcja znacząco maleje wraz ze wzrostem wysokości. Użyjemy przybliżonego wzoru empirycznego (Bennetta), dającego refrakcję w minutach kątowych:

$R(h) \approx \frac{1,02} {\tan\!\bigg( h^\circ + \frac{10,3}{h^\circ + 5,11}\bigg)^\circ}$

Dla $h = h^{(\mathrm{geom})}_W \approx 9.595^\circ$ wzór daje

$R_W \approx 5,615' \approx 0,0936^\circ.$

Wysokość obserwowana (pozorna) to

$h^{(\mathrm{obs})}_W = h^{(\mathrm{geom})}_W + R_W \approx 9,595^\circ + 0.0936^\circ = 9,689^\circ.$

W zapisie stopnie–minuty–sekundy:

$h^{(\mathrm{geom})}_W \approx 9^\circ 35'41,7'',\qquad h^{(\mathrm{obs})}_W \approx 9^\circ 41'18,6''.$

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka

Treść

Rozwiązanie

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 5 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 5 z 6 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 4 z 3 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 1 serii