II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 2 z 5 serii

Treść

Pewien astronom-amator posiada teleskop o średnicy $D=20$ cm i światłosile $S = \frac{1}{6}$ .

Oblicz ogniskową tego teleskopu.
Oblicz zależność między odległością kątową obiektów na niebie a odległością liniową na płaszczyźnie ogniskowej (tzw. plate scale).
W teleskopie znajduje się kamera CCD o efektywnej średnicy $d=6$ cm. Jakie jest pole widzenia takiej kamery?
Oszacuj liczbę zdjęć, jakie musiałby wykonać ten pasjonat astronomii, gdyby chciał on z pomocą tego sprzętu wykonać przegląd całego nieba.

Autor: Michał Jagodziński

Rozwiązanie

Światłosiła jest zdefiniowana jako stosunek średnicy obiektywu teleskopu do jego ogniskowej. Stąd łatwo otrzymujemy:

$f = \frac{D}{S} = 6 \cdot 20 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm}$

Obiekty oddalone na płaszczyźnie ogniskowej o $x$ od siebie, są widoczne z punktu widzenia obiektywu pod kątem $\theta$ — jest to ten sam kąt, pod którym są one widoczne na niebie. Kąt $\theta$ jest bardzo mały, stąd:

$\theta \approx \tg \theta = \frac{x}{f}$

Nietrudno więc obliczyć szukany plate scale:

$\frac{\theta}{x} = \frac{1}{f} = \frac{1}{1200} \frac{\text{rad}}{\text{mm}} = 171,9 \, \frac{\text{arcsec}}{\text{mm}}$

Kamerę umieszczamy w płasczyźnie ogniskowej. Uzyskujemy więc pole widzenia równe:

$\theta = d \cdot \frac{\theta}{x} = 60 \text{mm} \cdot 171,9 \, \frac{\text{arcsec}}{\text{mm}} = 171,9 ' = 2,87 {}^\circ$

Do oszacowania szukanej liczby zdjęć potrzebnych, do pokrycia całego nieba, obliczymy pole powierzchni w steradianach, którą może obserować w dowolnym momencie kamera, a następnie podzielimy pole powierzchni całej sfery przez otrzymany wynik — będzie to więc ograniczenie dolne minimalnej liczby zdjęć — rzeczywista minimalna liczba zdjęć potrzebna do pokrycia całego nieba będzie nieco większa, ponieważ fragmenty obserwowane przez kamerę w różnych momentach będą musiały się czasem pokrywać — rozwiązanie tego problemu w optymalny sposób jest jednak nietrywialne, dlatego na potrzeby zadania, to oszacowanie będzie uznane za wystarczające.

Promień koła, które jest obserwowane w danym momencie przez kamerę wynosi:

$\alpha = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{40} \, {\text{rad}}$

Ponieważ kąt jest bardzo mały, możemy skorzystać z przybliżeń na kąt bryłowy obserwowany w danym momencie przez kamerę. Ze wzoru na pole czaszy:

$\Delta \Omega = 2\pi (1 - \cos \alpha) \approx 2\pi \left(1 - \sqrt{1 - \alpha^2}\right) \approx 2\pi \left(1 - \left(1 - \frac{\alpha^2}{2}\right)\right) = \pi \alpha^2 = \frac{1}{1600} \pi \, \text{sr}.$

Z racji tego, że cała sfera ma $4\pi$ steradianów, otrzymujemy wynik — astronom-amator wykona co najmniej:

$N > \frac{4\pi}{\frac{1}{1600} \pi} = 6400 \, \text{zdjęć}.$

W rozwiązaniu dopuszczalne było też założenie, że kamera obserwuje „kwadratowy” fragment nieba o kącie bryłowym $\Delta \Omega = 1/400 \, \text{sr}$ . Wówczas otrzymywano wynik $N > 1600 \pi = 5030 \, \text{zdjęć}$ .

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka

Treść

Rozwiązanie

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 5 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 5 z 6 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 4 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 4 z 3 serii