Jak obliczyć temperaturę planety?

Często spotykanym zagadnieniem w astronomii jest obliczanie średniej temperatury powierzchni planety, ogrzewanej przez gwiazdę o danej temperaturze efektywnej. W poniższym zadaniu wyprowadzimy wzór opisujący ten problem.

Treść

Gwiazda o temperaturze efektywnej $T$ i promieniu $R$ ogrzewa planetę o promieniu $r$ oddaloną od niej o odległość $a$ . Oblicz średnią temperaturę powierzchni planety. Podaj założenia.

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw moc gwiazdy, korzystając z definicji gęstości strumienia promieniowania oraz prawa Stefana-Boltzmanna:

$L=SF=4\pi R^2\sigma T^4$

Następnie możemy obliczyć gęstość strumienia promieniowania gwiazdy w okolicach planety:

$F=\frac{L}{4\pi a^2}=\frac{4\pi R^2 \sigma T^4}{4\pi a^2}=\sigma T^4\frac{R^2}{a^2}$

Przeanalizujmy teraz parametry związane z planetą. W celu ułatwienia zadania załóżmy, że wiruje ona z odpowiednio małymi okresem oraz inklinacją, aby ogrzewała się równomiernie. Jej temperatura wynika z równowagi termodynamicznej – wypromieniowuje energię tak szybko, jak ją otrzymuje. Zatem moc pochłaniana musi być równa mocy emitowanej. Planeta pochłania energię swoim przekrojem, nie połową powierzchni: kąt padania promieniowania na skraju tarczy planety jest duży, przez co w obliczeniach trzeba uwzględnić wynikającą z tego poprawkę równą $\cos\theta$ . $\theta$ jest różna dla różnych odległości od środka tarczy, więc musielibyśmy użyć całki, co byłoby zupełnie zbędnym komplikowaniem obliczeń. Wystarczy zauważyć, że sytuacja jest analogiczna do takiej, gdy gwiazda ogrzewa dysk o promieniu równym promieniowi planety, ustawiony prostopadle do kierunku, z którego dociera promieniowanie. Zatem weźmiemy pod uwagę czynnik powierzchni równy $\pi r^2$ . Dodatkowo planety nie bywają zazwyczaj ciałami doskonale czarnymi, czyli o zerowym albedo – ten parametr powierzchni też musimy uwzględnić. Albedo $\alpha$ oznacza frakcję promieniowania odbijanego od powierzchni, czyli pochłaniany będzie tylko ułamek promieniowania równy $1-\alpha$ . Mamy zatem:

$L_1=(1-\alpha)F\pi r^2 =(1-\alpha)\sigma T^4\frac{R^2}{a^2}\pi r^2$

Natomiast moc, którą planeta emituje, to:

$L_2=4\pi r^2 \sigma T_p^4 \varepsilon$

Gdzie $\varepsilon$ to tzw. emisyjność powierzchni planety. Jak było wspomniane wyżej, planeta to nie ciało doskonale czarne – nie pochłania wszystkiego, ale też i nie emituje wszystkiego. Na zmniejszenie emisyjności ma wpływ przede wszystkim efekt cieplarniany. Porównajmy teraz $L_1$ i $L_2$ , dzięki czemu będziemy w stanie wyznaczyć $T_p$ :

$(1-\alpha)\sigma T^4\frac{R^2}{a^2}\pi r^2=4\pi r^2 \sigma T_p^4 \varepsilon$

$T_p=T\sqrt{\frac{R}{2a}}\sqrt[4]{\frac{1-\alpha}{\varepsilon}}$

Jest to zależność prosta, ale wyjątkowo dokładna. Policzmy z niej średnią temperaturę, na przykład dla Ziemi. Weźmy dane z karty stałych Olimpiady Astronomicznej: $a=1\text{,}496\cdot 10^{11}~\text{m}$ , $R=6\text{,}96 \cdot 10^8~\text{m}$ , $T=5780 ~\text{K}$ , a albedo i efektywną emisyjność z danych w pracy Climate Change 2021: $\alpha = 0\text{,}29$ , $\varepsilon = 0\text{,}6$ . Po obliczeniu otrzymujemy temperaturę w przybliżeniu $18^{\circ}\text{C}$ , zatem bardzo zbliżoną do realnej wartości. Równanie jest wrażliwe nawet na niewielkie zmiany parametrów, zatem ich dokładność ma duży wpływ na otrzymany wynik.