Obrazek wyróżniający: NASA/Michael Collins

Kiedyś ludzie zaczęli marzyć o podróży do gwiazd. Najstarsza wzmianka o locie kosmicznym pochodzi z II w. n.e. W satyrze zatytułowanej Prawdziwa historia autorstwa rzymskiego pisarza Lukiana z Samosat statek podróżników zostaje porwany w niebo przez trąbę powietrzną, po czym ósmego dnia kosmicznej żeglugi dociera do Księżyca. Załoga trafia w sam środek konfliktu pomiędzy mieszkańcami Księżyca a Słońca o kolonizację Wenus.

Aleksander Wielki miał przywiązać do swojego tronu cztery wygłodzone gryfy, którymi sterował włócznią z nabitym mięsem. Kierując w ten sposób lotem miał dotrzeć do kosmosu, lecz przestraszył się widoku Ziemi z wysokości i zawrócił.

Kepler i Godwin też zaproponowali sposób podróży kosmicznej. Kepler chciał wezwać demony, aby dzięki nim dotrzeć na Księżyc. Godwin widział podróż do naszego naturalnego satelity inaczej – przy pomocy rydwanu zaprzężonego w gęsi.

Juliusz Verne, jeden z pierwszych twórców gatunku fantastyki naukowej, zaproponował wystrzelenie załogi… z armaty. Trafnie przewidział prędkość ucieczki z Ziemi, miejsce startu – Florydę, oraz wodowanie w trakcie powrotu na Ziemię. Wszystko opisał w powieści Z Ziemi na Księżyc.

W XX wieku marzenia stały się rzeczywistością. Na początku stulecia Ciołkowski i Goddard teoretycznie opisali lot w kosmos, a w drugiej jego połowie człowiek stąpał po Księżycu, natomiast pojazdy jego dzieła badały cały Układ Słoneczny.

Równanie Ciołkowskiego

Obecnie nie ma innego sposobu na wejście na orbitę wokół Ziemi lub zupełne opuszczenie tej planety niż napęd rakietowy. Taki napęd wymaga dużej ilości paliwa, aby wynieść w kosmos potrzebny sprzęt. Paliwo również waży swoje. A im większa masa ładunku, tym więcej paliwa potrzebne, tym większa masa rakiety… tym więcej paliwa potrzebne. To pozornie błędne koło gdzieś się kończy – i właśnie to opisuje równanie Ciołkowskiego. Wyznacza ono minimalną masę paliwa do przyspieszenia konkretnej masy ładunku do danej prędkości, np. prędkości ucieczki. Równanie zaproponował w 1903 r. Rosjanin Konstantin Ciołkowski, samouk.

W poniższym wyprowadzeniu zastosowany jest nieobowiązkowy na OA rachunek różniczkowy i całkowy. Jest ono przedstawione dla bardziej zaawansowanych Czytelników i tylko w celu lepszego zrozumienia, skąd bierze się równanie. Nie trzeba zapamiętywać tych kroków, wystarczy znać wynik końcowy.

Zależność tę wyprowadzamy z zasady zachowania pędu. Przyjmujemy, że prędkość gazów wylotowych z silnika jest stała względem rakiety – w klasycznym silniku jest to wartość ok. 3000 – 4500 m/s. Szybkość wyrzutu masy jest również stała.

W czasie $dt$ z silnika jest wyrzucana masa $dm$ gazów z prędkością $v_e$ względem rakiety o masie $m(t)$ . W momencie $t$ na rakietę działa siła ciągu:

$F = \frac{dp}{dt} = v_e \frac{dm}{dt}=v_e \dot{m}$

Jest ona zatem stała w czasie. Natomiast już przyspieszenie działające na rakietę zmienia się:

$a(t) = \frac{F}{m(t)}=\frac{v_e \dot{m}}{m_0-\dot{m}t}$

Aby obliczyć osiągniętą prędkość, należy scałkować powyższe równanie po czasie.

Czas, w jakim paliwo o masie $m_0-m$ zostanie zużyte to

$T = \frac{m_0-m}{\dot{m}}$

Gdzie $m_0$ to początkowa masa rakiety wraz z paliwem, a $m$ – masa pustej rakiety. Zatem całkujemy od zera do $T$ :

$v = \int_{0}^{T} a(t)dt = \int_{0}^{T} \frac{v_e \dot{m}}{m_0-\dot{m}t}dt$

Podstawiamy $u = m_0-\dot{m}t$ , zatem $du = -\dot{m}dt$ :

$\int_{u(0)}^{u(T)} -\frac{v_e \dot{m}}{u \dot{m}}du = -v_e \int_{u(0)}^{u(T)} \frac{du}{u} = -v_e (\ln u(T) - \ln u(0)) = -v_e( \ln (m_0-\dot{m}T) - \ln m_0 )$

Wielkość $\dot{m}$ , skoro jest stała, można też zapisać za pomocą całkowitego czasu spalania paliwa, $T$ :

$\dot{m} = \frac{m_0-m}{T}$

Zatem wcześniejsze upraszcza się do

$v=-v_e (\ln (m_0 - [m_0 - m])- \ln m_0) =-v_e (\ln m - \ln m_0) = v_e \ln \frac{m_0}{m}$

Tak otrzymaliśmy równanie Ciołkowskiego:

$v = v_e \ln \frac{m_0}{m}$

Stosowalne w sytuacji braku dodatkowej siły ciążenia oraz istnienia próżni. Aby uwzględnić stałą siłę ciążenia w wyprowadzeniu od ciągu silników odejmujemy wartość ciężaru rakiety $m(t)g$ , finalnie otrzymując równanie:

$v = v_e \ln \frac{m_0}{m} - gT$

Równanie to nie uwzględnia nadal toru lotu rakiety odchylonego od pionu oraz zmiennej siły grawitacji – ze względu na oddalanie się od środka masy planety. Takie rachunki wykraczają poza zakres merytoryczny tego poradnika.

Efekt Obertha

Czy ilość wytworzonej przez silnik energii mechanicznej może być różna w zależności od prędkości statku? Jak się okazuje – tak, i to właśnie opisuje efekt Obertha, Wynika on wprost z matematyki energii kinetycznej. Dzięki jego uwzględnieniu można zaoszczędzić bardzo dużo paliwa w trakcie misji.

Mała praca siły ciągu $W$ wystarczy, aby znacznie zmienić energię kinetyczną statku, ponieważ silnik zmienia pęd pojazdu, a nie energię kinetyczną, bo to tylko konsekwencja zmiany pędu. Jego przyrost jest równy:

$\Delta p = m\Delta v$

Przyjmując znikomą zmianę masy dla krótkiego impulsu. Natomiast zmiana energii kinetycznej to:

$\Delta E_k = \frac{1}{2}m(v_0+\Delta v)^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = mv_0\Delta v + \frac{1}{2}m(\Delta v)^2$

Składnik $mv_0\Delta v$ pokazuje, że im większa prędkość początkowa, tym większy zysk energii kinetycznej z takiego samego wzrostu prędkości, a więc i zużycia paliwa. Zyskana energia kinetyczna pokryje większą ilość energii potencjalnej, dzięki czemu statek będzie mógł dolecieć dalej.

Asysty

Asysta rotacji Ziemi

Jest to powód, dla którego kosmodromy są umieszczane jak najbliżej równika, ponieważ Ziemia na równiku ma największą liniową prędkość rotacji, dzięki czemu statek nie musi „nadrabiać” tej prędkości, a całkowity impuls potrzebny do wyniesienia statku jest mniejszy. Ziemia obraca się z zachodu na wschód, więc rakiety też startują na wschód, aby dodatkowo nie „wyhamowywać” z prędkości rotacji Ziemi, tylko ją wykorzystać.

Asysta grawitacyjna

Jest to manewr zbliżenia się do masywnego ciała, np. Jowisza, aby dzięki temu niemal za darmo zyskać prędkość przy wejściu na orbitę hiperboliczną wokół tego ciała. Asysta czysto grawitacyjna lub asysta wspomagana (dzięki efektowi Obertha) jest wykorzystywana w dalekich misjach międzyplanetarnych, np. Voyager, Pioneer, Cassini.

Manewr Hohmanna

Jest to manewr transferowy po raz pierwszy opisany w 1925 r. przez Waltera Hohmanna. Pozwala on na zmianę półosi wielkiej orbity w najbardziej ekonomiczny sposób dla małych stosunków półosi orbity docelowej i startowej ( $<12$ , patrz niżej).

Leafnode via Wikimedia Commons

Schemat manewru Hohmanna.

Przeanalizujmy proces transferu zgodnie z powyższym schematem.

Pojazd znajduje się na orbicie startowej o promieniu $R$ . Jego orbita docelowa ma promień $R'$ .
W dogodnym momencie pojazd jest przyspieszany impulsem – tj. krótko trwającym uruchomieniem silnika rakietowego o dużym ciągu – o prędkość $\Delta v$ . Pojazd trafia na orbitę eliptyczną zwaną orbitą transferową, o półosi wielkiej równej $a_t=\frac{R+R'}{2}$ . Ma teraz prędkość $v_t$ .
W apocentrum orbity transferowej pojazd jest ponownie przyspieszany impulsem o wartość prędkości $\Delta v'$ , dzięki czemu trafia na orbitę docelową. Jego prędkość zmienia się z $v_t'$ do $v'$ .

Możemy policzyć za pomocą równania vis-viva, jakie dokładnie wartości $\Delta v$ oraz $\Delta v'$ są potrzebne. Na orbicie startowej pojazd ma prędkość

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

A w perycentrum orbity transferowej, czyli tuż po wyłączeniu silników po raz pierwszy, $v_t = v+\Delta v$ . $v_t$ musi być takie, aby półoś wielka orbity transferowej była odpowiednia. Zapiszmy dla tej sytuacji równanie vis-viva:

$v_t^2 = GM(\frac{2}{R}-\frac{1}{a_t}) = GM(\frac{2}{R}-\frac{2}{R+R'})$

Zatem

$\Delta v = v_t-v = \sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+R'})} - \sqrt{\frac{GM}{R}}$

$\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}(\frac{2R'}{R+R'})} - \sqrt{\frac{GM}{R}}$

$\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}}(\sqrt{\frac{2R'}{R+R'}}-1)$

Prędkość ciała na orbicie docelowej to:

$v' = v_t'+\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}}$

Równanie vis-viva dla drugiego impulsu to:

$v_t'^2 = GM(\frac{2}{R'}-\frac{2}{R+R'})$

Zatem

$\Delta v' = v' - v_t' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} - \sqrt{GM(\frac{2}{R'}-\frac{2}{R+R'})}$

$\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} - \sqrt{2GM(\frac{R+R'}{R'(R+R')}-\frac{R'}{R'(R+R')})}$

$\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}}(1-\sqrt{\frac{2R}{R+R'}})$

Obliczenia w obrębie manewru Hohmanna pozwalają oszacować minimalny czas wymagany do podróży na inną planetę, np. z Ziemi na Marsa. Czas ten to połowa okresu na orbicie transferowej. Kontynuując przykład, Ziemia znajdowałaby się w peryhelium orbity transferowej, a orbita Marsa byłaby styczna do niej w aphelium. Czerwona Planeta musiałaby się znaleźć dokładnie w aphelium orbity transferowej, wtedy, gdy statek kosmiczny również by tam był. W przeciwnym wypadku podróż nie zakończyłaby się sukcesem, a sprzęt, lub co gorsza – astronauci, czekaliby długo na odpowiednią pozycję Marsa.

Manewr dwueliptyczny

Manewr dwueliptyczny, często zwany bieliptycznym, składa się z dwóch orbit transferowych, zamiast jednej – jak w przypadku manewru Hohmanna. W określonych warunkach bywa też od niego mniej energochłonny. Jest zbudowany w oparciu o fakt, że w apocentrum ciało ma małą prędkość, przez co do manipulowania całą orbitą jest potrzebny również mały impuls.

AndrewBuck via Wikimedia Commons

Schemat manewru dwueliptycznego.

Zmiana orbity według tego manewru wymaga następujących kroków:

Ciało znajduje się na orbicie początkowej o promieniu $R$ .
Ciało przyspieszane jest impulsem $\Delta v$ , przez co wynoszone na pierwszą eliptyczną orbitę transferową.
W apocentrum pierwszej orbity transferowej jest ponownie przyspieszane niewielkim impulsem $\Delta v_b$ , wchodząc na drugą eliptyczną orbitę transferową.
W perycentrum drugiej orbity transferowej jest spowalniane impulsem $\Delta v'$ , aby znaleźć się na orbicie docelowej o promieniu $R'$ .

Wykonajmy teraz odpowiednie rachunki na podstawie równania vis-viva, aby wyznaczyć wartości impulsów oraz parametry orbit transferowych.

Na orbicie początkowej ciało ma prędkość

$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

Przyspieszane jest impulsem $\Delta v$ , dzięki czemu wchodzi na orbitę o półosi wielkiej

$a = \frac{R+R_b}{2}$

Gdzie $R_b$ to odległość wspólnego apocentrum orbit transferowych. Zatem prędkość ciała po pierwszym impulsie to prędkość w perycentrum pierwszej orbity transferowej o półosi wielkiej $a$ . Z tego:

$v+\Delta v = \sqrt{GM(\frac{2}{R}-\frac{2}{R+R_b})}$

Druga orbita transferowa ma półoś wielką

$a' = \frac{R_b+R'}{2}$

Prędkość ciała w apocentrum wynosi

$v_a = \sqrt{GM(\frac{2}{R_b}-\frac{2}{R+R_b})}$

Natomiast impuls przyspiesza je do prędkości

$v_a + \Delta v_b = \sqrt{GM(\frac{2}{R_b}-\frac{2}{R_b+R'})}$

Trzeci impuls kończy manewr. Musi on nadać ciału prędkość równą

$v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}}$

Zatem zmniejszenie wartości prędkości wynosi

$\Delta v' = v_p - v'$

Gdzie $v_p$ to prędkość ciała w perycentrum drugiej orbity transferowej:

$v_p = \sqrt{GM(\frac{2}{R'}-\frac{2}{R_b+R'})}$

Tych równań już pozwoliłem sobie nie przekształcać do prostszej formy, jak w przypadku manewru Hohmanna.

Planując manewr dwueliptyczny znamy tylko prędkość na orbicie początkowej i docelowej. Parametrem swobodnym tego manewru, którego musimy określić tak, aby transfer był jak najbardziej ekonomiczny, jest odległość apocentrum $R_b$ . Zależą od niego wszystkie trzy impulsy wykorzystywane w manewrze.

Ekonomia manewrów orbitalnych

W tej sekcji artykułu przeprowadzimy rozważania nad tym, w jakich sytuacjach manewr Hohmanna jest bardziej ekonomiczny, a w jakich – manewr dwueliptyczny. Posłużymy się uniwersalnym parametrem delta-v szeroko wykorzystywanym w astronautyce. Jest to całkowity impuls – czyli suma wartości pojedynczych impulsów – potrzebny do wykonania manewru.

Manewr Hohmanna

Dla manewru Hohmanna całkowity impuls wynosi:

$\Delta v_H = \sqrt{\frac{GM}{R}}(\sqrt{\frac{2R'}{R+R'}}-1) + \sqrt{\frac{GM}{R'}}(1-\sqrt{\frac{2R}{R+R'}})$

Niech $r = \frac{R'}{R}$ , a prędkości na orbitach $R$ i $R'$ to odpowiednio $v$ oraz $v'$ . Wtedy:

$\Delta v_H = v(\sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1) +v'(1-\sqrt{\frac{2}{1+r}})$

Dla wygody dalszych rachunków, równanie podzielimy przez $v$ . Przyjmie ono formę:

$\frac{\Delta v_H}{v} = \sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1 +\frac{1}{\sqrt{r}}(1-\sqrt{\frac{2}{1+r}})$

Manewr dwueliptyczny

Natomiast dla manewru dwueliptycznego:

$\Delta v_B = \sqrt{\frac{GM}{R}}(\sqrt{\frac{2R_b}{R+R_b}}-1) + \sqrt{\frac{GM}{R_b}}(\sqrt{\frac{2R'}{R_b+R'}} - \sqrt{\frac{2R}{R+R_b}}) + \sqrt{\frac{GM}{R'}}(\sqrt{\frac{2R_b}{R_b+R'}} - 1)$

Niech tutaj dodatkowo $v_b=\sqrt{\frac{GM}{R_b}}$ , $r_b = \frac{R_b}{R}$ , $r'_b = \frac{R_b}{R'}$ . Wtedy:

$\Delta v_B = v(\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+1}}-1) + v_b(\sqrt{\frac{2}{1+r'_b}} - \sqrt{\frac{2}{r_b+1}}) +v'(\sqrt{\frac{2r'_b}{1+r'_b}} - 1)$

Dodatkowo

$r = \frac{R'}{R} = \frac{R_b}{R}\frac{R'}{R_b} = \frac{r_b}{r'_b}$

Oraz

$v_b=\sqrt{\frac{GM}{R_b}}$

$\Delta v_B$ można uprościć jeszcze bardziej:

$\Delta v_B = v(\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+1}}-1) + v_b(\sqrt{\frac{2r}{r_b+r}} - \sqrt{\frac{2}{r_b+1}}) +v'(\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+r}} - 1)$

Tak samo powyższe równanie podzielimy przez $v$ :

$\frac{\Delta v_B}{v} = \sqrt{\frac{2r_b}{r_b+1}}-1 + \frac{1}{\sqrt{r_b}}(\sqrt{\frac{2r}{r_b+r}} - \sqrt{\frac{2}{r_b+1}}) +\frac{1}{\sqrt{r}}(\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+r}} - 1)$

Porównanie manewrów

Z powyższego widzimy, że gdy $r_b \rightarrow \infty$ ( $R_b \rightarrow \infty$ ; aby wyznaczyć $\lim$ , należy skrócić ułamki przez $r_b$ ), to $\frac{\Delta v_B}{v}$ osiąga swoje minimum. Jest to najbardziej ekonomiczny przypadek manewru dwueliptycznego zwany manewrem dwuparabolicznym. Nie ma on rzeczywistego fizycznego zastosowania, bo trwałby nieskończenie długo. Jest to jedynie matematyczny przypadek graniczny. W takiej sytuacji powyższe redukuje się do:

$\frac{\Delta v_B}{v} = \sqrt{2}-1 +\frac{1}{\sqrt{r}}(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2}-1)(1+\frac{1}{\sqrt{r}})$

Nie ma bardziej ekonomicznego manewru dwueliptycznego dla danego stosunku promieni niż ten spełniający powyższy warunek. Przyrównując powyższy manewr do manewru Hohmanna:

$(\sqrt{2}-1)(1+\frac{1}{\sqrt{r}}) = \sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1 +\frac{1}{\sqrt{r}}(1-\sqrt{\frac{2}{1+r}})$

Jesteśmy w stanie wyznaczyć stosunek promieni orbity docelowej i początkowej, dla którego manewr Hohmanna przestaje być najbardziej efektywny.

Przy obliczeniach najlepiej skorzystać z internetowego kalkulatora graficznego, np. Desmos, jak ja poniżej.

Rozwiązanie granicznego przypadku porównania manewrów Hohmanna i dwueliptycznego.

Otrzymujemy słynną w mechanice nieba wartość stosunku promieni

$r=11,94$

Powyżej tej wartości, odpowiednio dobrany manewr dwueliptyczny jest bardziej ekonomiczny niż manewr Hohmanna. Musi on mieć wystarczająco duży promień $R_b$ , aby zyski z manewrowania z dala od studni potencjału się opłaciły. Jaki konkretnie? Wyprowadzimy to poniżej. Wychodzimy z założenia, że koszt manewru dwueliptycznego jest równy kosztowi manewru Hohmanna. Zatem:

$\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+1}}-1 + \frac{1}{\sqrt{r_b}}(\sqrt{\frac{2r}{r_b+r}} - \sqrt{\frac{2}{r_b+1}}) +\frac{1}{\sqrt{r}}(\sqrt{\frac{2r_b}{r_b+r}} - 1) =$

$= \sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1 +\frac{1}{\sqrt{r}}(1-\sqrt{\frac{2}{1+r}})$

Równanie to, aby wyznaczyć minimalne $R_b$ , możemy rozwiązać wyłącznie numerycznie. Wprowadźmy teraz warunek $R_b=R'$ , co jest równoważne $r_b=r$ , aby odnaleźć graniczną wartość $r$ , za którą dowolnie małe powiększenie $R_b$ ponad $R'$ daje manewr bardziej efektywny od manewru Hohmanna. Zatem:

$\sqrt{\frac{2r}{r+1}}-1 + \frac{1}{\sqrt{r}}(1 - \sqrt{\frac{2}{r+1}}) = \sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1 +\frac{1}{\sqrt{r}}(1-\sqrt{\frac{2}{1+r}})$

Otrzymujemy równanie tożsamościowe. Mamy potwierdzenie, że nasze wcześniejsze rachunki są prawidłowe, ale nie utworzyliśmy żadnego narzędzia do wyznaczenia punktu bezwzględnej opłacalności manewru dwueliptycznego. Musimy zbadać, jak zachowuje się funkcja kosztu manewru dwueliptycznego w otoczeniu punktu $r_b=r$ , a konkretnie – dla jakiego $r$ dowolnie małe zwiększenie $r_b$ ponad $r$ zmniejszy koszt manewru. Użyjemy rachunku różniczkowego. Wyznaczamy pochodną cząstkową po $r_b$ – ponieważ to ta zmienna będzie zwiększana – w punkcie $r_b=r$ , ponieważ porównujemy z manewrem Hohmanna, a w tym miejscu manewr dwueliptyczny się do niego redukuje. Po żmudnych przekształceniach otrzymamy:

$\frac{\partial}{\partial r_b}(\frac{\Delta v_B}{v}) \vert _{r_b=r} = \frac{r^3-15r^2-9r-1}{2\sqrt{2}r^{\frac{3}{2}}(r+1)^2}$

I przyrównujemy pochodną do zera. Równanie – wystarczy tylko licznik, bo mianownik jest dodatni dla $r>1$ :

$r^3-15r^2-9r-1 =0$

Ma jeden pierwiastek dodatni równy

$r=15,58$

I jest to poszukiwana przez nas wartość, od której dowolny manewr dwueliptyczny jest bardziej ekonomiczny niż manewr Hohmanna. Punkt ten jest jednocześnie najdroższym możliwym manewrem Hohmanna.

Warto również zwrócić uwagę na koszty czasowe manewru bieliptycznego. Im większy jest promień $R_b$ , tym dłużej trwa podróż – zgodnie z trzecim prawem Keplera. Przy bardzo długim czasie mimo wszystko mniej kosztowny, a nawet w ogóle wykonalny, może okazać się manewr Hohmanna.

Zmiana inklinacji

Zmiana inklinacji to często potrzebny manewr do zakończenia misji sukcesem. W tym manewrze przyjmujemy, że zmienia się wyłącznie inklinacja – pozostałe parametry orbity, jak mimośród, półoś wielka czy położenie linii apsyd pozostają bez zmian. W takim przypadku impuls prędkości musi być wykonany prostopadle do płaszczyzny pierwotnej orbity, aby nie zmieniać prędkości ciała. Należy je również przyspieszyć w punkcie wspólnym obu orbit – czyli w węźle: wstępującym lub zstępującym.

Astronomical Returns

Schemat manewru zmiany inklinacji.

Niech $\vec{v_1}$ oznacza prędkość ciała w węźle przed zmianą inklinacji, a $\vec{v_2}$ – po zmianie. Należy pamiętać, że $|\vec{v_1}|=|\vec{v_2}|=v$ . Wtedy wartość zmiany prędkości możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów:

$(\Delta v)^2 = v_1^2+v_2^2 - 2v_1v_2 \cos\Delta i$

Ponieważ wszystkie wartości prędkości są takie same:

$(\Delta v)^2 = 2v^2(1-\cos\Delta i)$

Z racji, że $1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ :

$(\Delta v)^2 = 4v^2\sin^2\frac{\Delta i}{2}$

$\Delta v = 2v\sin\frac{\Delta i}{2}$

Widzimy, że najbardziej oszczędny manewr zmiany inklinacji jest przy najmniejszej prędkości. Planując ten manewr, a zarazem całą misję, warto wyznaczyć apocentrum orbity jako miejsce jego wykonania.

W rzeczywistych misjach rzadko wykonuje się czystą zmianę inklinacji. Manewr najczęściej jest łączony, np. z podwyższeniem orbity, aby jeszcze bardziej zaoszczędzić na paliwie.

Zadania

Oblicz czas podróży na Wenus. Promień jej orbity to 0,73 au.
Oblicz, ile razy więcej energii kinetycznej zostanie nadane sondzie przy przyspieszaniu impulsem o wartości 200 m/s przy prędkości 8000 m/s niż przy prędkości 500 m/s.
Oszacuj minimalny całkowity impuls potrzebny na wyniesienie statku na orbitę o wysokości 250 km, gdyby start odbywał się z równika w kierunku zachodnim. Oszacuj, o ile procent więcej paliwa jest potrzebne na taki manewr, niż na start w kierunku wschodnim. Prędkość wylotowa gazów jest równa 3200 m/s. Nie uwzględniaj siły grawitacji ani nachylenia toru lotu. Masa Ziemi $M_{\oplus} = 5,97\times 10^{24} \text{ kg}$ , jej promień $R_{\oplus} = 6371 \text{ km}$

Rozwiązania

Kliknij, aby rozwinąć…

147 dni. Jest to połowa okresu na orbicie transferowej Hohmanna. Z III p. Keplera okres na orbicie transferowej to:
$P = \sqrt{(\frac{1+0,73}{2})^3} = 0,804 \text{ yr} = 294 \text{ d}$
13,5 raza.
$\varepsilon = \frac{m \cdot 8000 ~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 200 ~\frac{\text{m}}{\text{s}} + \frac{1}{2}m (200 ~\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{m \cdot 500 ~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 200 ~\frac{\text{m}}{\text{s}} + \frac{1}{2}m (200 ~\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} = 13,5$
8,2 km/s oraz 37,5% więcej paliwa.
$\Delta v = \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus} + 250 \text{ km}}} + \frac{2\pi R_{\oplus}}{86164 \text{ s}} = 8222 ~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Przekształcając równanie Ciołkowskiego:

$m_0 = m e^ \frac{v}{v_e}$

Minimalny impuls startując na wschód to:

$8222 ~\frac{\text{m}}{\text{s}} - 2\frac{2\pi R_{\oplus}}{86164 \text{ s}} = 7293 ~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Zatem różnica procentowa:

$\frac{me^{8222/3200}-m-(me^{7293/3200}-m)}{me^{7293/3200}-m} = 37,5\%$

Zwracam uwagę, że wykorzystana jest tutaj długość doby gwiazdowej, tj. 86164 s, a nie słonecznej, czyli 86400 s, bo to byłby błąd merytoryczny. Ziemia jedno pełne okrążenie wokół własnej osi zatacza w ciągu jednej doby gwiazdowej.