Obrazek wyróżniający: Tomruen via Wikimedia Commons

Pierwsze prawo Keplera w jego unowocześnionej wersji dopuszcza istnienie takich orbit, choć bardziej odpowiednie byłoby tu określenie trajektorii lotu, które nie są okresowe. Planety i księżyce poruszają się po okręgach lub elipsach, zatem mają określony okres obiegu – są na orbitach zamkniętych. Orbita otwarta to taki tor ruchu ciała niebieskiego, który jest parabolą albo hiperbolą. Względem Słońca takie trajektorie przyjmują obiekty międzygwiezdne, jak np. słynna 1I/Oumuamua czy niedawny 3I/ATLAS, lub obiekty wyrzucane poza Układ Słoneczny dzięki asyście grawitacyjnej. Na orbicie otwartej względem Ziemi porusza się większość meteoroidów. Co ważne, taka orbita nie oznacza od razu, że obiekt na pewno minie naszą planetę w bezpiecznej odległości. Między innymi to rozważymy w tym artykule.

Pierwsze prawo Keplera

Wszystkie trzy (cztery?) prawa Keplera zostały sformułowane na podstawie obserwacji. Kepler nie analizował ani nie wyprowadzał ich potem na gruncie głębszej matematyki czy fizyki – zrobił to dopiero Newton. Tak też było z pierwszym prawem, które niemiecki astronom zapisał, tłumacząc już na język polski, w ten sposób:

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce.

Dopiero Izaak Newton w swoim dziele Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica udowodnił to zdanie na gruncie fizyki i matematyki. Co najważniejsze, jego rozważania ukazały istnienie jeszcze trzech rodzajów orbit: okręgu, paraboli i hiperboli. Dlaczego akurat te krzywe?

Krzywe stożkowe

Wszystkie cztery to tzw. krzywe stożkowe, czyli krzywe powstające na przecięciu płaszczyzny i stożka:

Dane krzywe stożkowe powstają dla konkretnych warunków ułożenia płaszczyzny tnącej:

• okrąg powstaje, gdy płaszczyzna tnąca jest ułożona równolegle do podstawy stożka,
• elipsa, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest większy od kąta pomiędzy osią stożka a tworzącą, tj. prostą zawierającą się w ścianie stożka,
• parabola, gdy płaszczyzna ta jest równoległa do tworzącej,
• hiperbola, gdy kąt ułożenia płaszczyzny tnącej jest mniejszy od kąta tworzącej.

Okrąg i elipsa to krzywe zamknięte, a parabola i hiperbola – otwarte.

Każda krzywa stożkowa ma również bardzo ważny parametr z punktu widzenia astronoma: ognisko. Ognisko okręgu to jego środek. Elipsa ma dwa ogniska. Najłatwiej je sobie uzmysłowić, patrząc na konstrukcję elipsy za pomocą nici i ołówka:

Wybieramy dwa punkty, w które wbijamy gwoździe. Bierzemy pętlę z nici i kładziemy ją na zewnątrz odcinka wyznaczanego przez gwoździe tak, aby oba znalazły się wewnątrz pętli. Naciągamy pętlę ołówkiem i rysujemy wokół gwoździ. W ten sposób otrzymujemy elipsę. Jej ogniska będą dokładnie w miejscach wbicia gwoździ. To właśnie w jednym z tych dwóch punktów znajduje się Słońce (a dokładniej: środek masy układu Słońce – planeta).

Parabola i hiperbola mają po jednym ognisku, które znajduje się na osi symetrii każdej z nich. Przeanalizujmy to dokładniej.

Orbita paraboliczna

Z definicji jest to zbiór punktów równoodległych od prostej zwanej kierownicą oraz punktu zwanego ogniskiem. W ognisku tym znajduje się zawsze środek masy układu dwóch ciał.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej:

   

Lecz z punktu widzenia astronomii kartezjański układ odniesienia jest bezużyteczny. Mało przydatna jest wiedza, jakie współrzędne x oraz y ma ciało, natomiast bardziej – jak daleko jest ono od ciała centralnego, czyli jaki ma promień wodzący r, oraz na jakim jest etapie swojej podróży po orbicie, czyli jaka jest jego anomalia prawdziwa . Z równania we współrzędnych kartezjańskich przenosimy się do równania we współrzędnych biegunowych:

   

Równanie w takiej formie umieszcza ognisko w początku układu współrzędnych, a anomalia prawdziwa równa zero wskazuje na perycentrum orbity, czyli wierzchołek paraboli. Parametr to semilatus rectum. Dla paraboli jest to połowa długości odcinka równoległego do kierownicy, przechodzącego przez ognisko i wyznaczanego przez punkty na paraboli. Wielkość ta jest równa dwukrotności odległości wierzchołka od ogniska. Na rysunku powyżej jest oznaczony kolorem pomarańczowym odcinek latus rectum, czyli dwukrotność semilatus rectum.

Ramiona paraboli są w nieskończoności równoległe.

Mechanika orbity parabolicznej

Najważniejsza informacja o tej orbicie to ta, że w dowolnym punkcie ciało poruszające się po niej ma zawsze prędkość równą drugiej prędkości kosmicznej dla tego punktu. Wynika z tego, że całkowita energia mechaniczna ciała jest zawsze równa zero. Ekscentryczność (mimośród) orbity parabolicznej jest równa dokładnie jeden, a półoś wielka jest nieskończona.

   

Gdzie – masa zredukowana równa , – masa układu równa , – standardowy parametr grawitacyjny układu podwójnego, tj. . Taka notacja będzie używana w całej dalszej części artykułu. Dla sytuacji pomija się sumę mas w parametrze , zastępując ją masą tylko cięższego składnika. Mając wiedzę, że , możemy przyjąć, że orbita jest parabolą. Jest to częste uproszczenie, jeżeli danych jest za mało, aby prowadzić dokładniejsze obliczenia (czyli nad orbitą hiperboliczną).

Parametr orbitalny (semilatus rectum) można obliczyć jeszcze tak:

   

Gdzie to moment pędu na jednostkę masy ciała, tj. 

Znając prędkość, promień wodzący oraz kąt pomiędzy nimi można dopiero obliczyć wielkość perycentrum:

   

Ponieważ w perycentrum kąt pomiędzy wektorami prędkości i promienia wodzącego jest prosty. Dalej otrzymujemy:

   

   

Albo

   

Jest to już bardzo prosty wzór do obliczenia wielkości perycentrum.

Ciało poruszające się po orbicie parabolicznej w nieskończoności będzie miało prędkość równą zero.

Orbita hiperboliczna

Hiperbola jest to zbiór punktów, których wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch ustalonych punktów jest taka sama.

W związku z taką definicją powstają dwie identyczne gałęzie hiperboli. Oczywiście ciało na takiej orbicie będzie się poruszało tylko po jednej z nich.

Półoś wielka hiperboli to odległość pomiędzy środkiem symetrii a jednym z wierzchołków. Mimośród jest zdefiniowany tak samo jak dla elipsy, czyli jako stosunek półogniskowej do półosi wielkiej:

   

Lub też ogniskowej do osi wielkiej. Z tego wynika, że dla hiperboli zachodzi zawsze . Odległość wierzchołka od ogniska, czyli odległość perycentrum, to zatem

   

Asymptoty hiperboli to proste, do których krzywa ta cały czas się zbliża (nigdy z nimi się nie stykając!). Są one ułożone względem siebie pod konkretnym kątem , równym (mniejszy kąt na rysunku powyżej o wierzchołku w punkcie , tj. kąt obejmujący perycentrum):

   

Parametr semilatus rectum dla hiperboli wynosi

   

Zatem równanie hiperboli we współrzędnych biegunowych wygląda następująco:

   

To równanie spełnia takie same założenia jak poprzednie, czyli ognisko jest w początku układu współrzędnych, a anomalia prawdziwa wskazuje na perycentrum.

Każda z gałęzi hiperboli ma swoją kierownicę, ale nie jest to dla nas istotna prosta.

Mechanika orbity hiperbolicznej

Energia ciała na takiej orbicie jest zawsze większa od zera.

   

Albo zapisując za pomocą energii właściwej, tj. na jednostkę masy ciała orbitującego:

   

Z tego wynika, że w nieskończoności – czyli gdy energia potencjalna się zeruje – ciało będzie miało prędkość większą od zera, w przeciwieństwie do trajektorii parabolicznej. Tę dodatkową prędkość warto policzyć z równania vis-viva, które dla hiperboli ma postać:

   

Jeżeli , to 

   

W tym miejscu warto wnieść pewną uwagę. Minus w równaniu vis-viva zmienił się na plus, ponieważ oficjalnie półoś wielka orbity hiperbolicznej jest ujemna, co wynika z równania energii całkowitej na orbicie:

   

Z racji, że , to . Ale w tym artykule staram się unikać takiej notacji i wszędzie w równaniach zmieniam znak z zastrzeżeniem, że jest to równanie tylko dla orbity hiperbolicznej.

Trajektoria hiperboliczna ma bardzo ważny parametr wcześniej niewystępujący: parametr zderzenia oznaczany . Jest to odległość ogniska od właściwej dla danej gałęzi asymptoty. Intuicyjnie – ciało będąc w nieskończoności, które dopiero wchodzi na orbitę, celuje swoim wektorem prędkości obok ciała centralnego. Im dalej, tym większy jest parametr zderzenia. oznacza, że ciało orbitujące celuje wprost na ciało centralne.

Obliczenia nad parametrem najlepiej jest prowadzić w kontekście zasady zachowania momentu pędu, czyli drugiego prawa Keplera. Moment pędu właściwy, czyli na jednostkę masy, jest równy:

   

Mamy od razu do dyspozycji dwie sytuacje, dla których znane są prędkość i składowa promienia wodzącego. Pierwszą z nich jest moment przejścia przez perycentrum. Wtedy kąt pomiędzy prędkością a promieniem wodzącym jest prosty, zatem równanie się upraszcza do 

   

Druga sytuacja to wtedy, gdy ciało jest w nieskończoności. Składowa promienia wodzącego prostopadła do prędkości jest równa wówczas parametrowi zderzenia. Mamy:

   

Prędkość w perycentrum jest łatwo policzyć, bo z zasady zachowania energii:

   

   

Semilatus rectum dla hiperboli ma taki sam wzór w kontekście grawitacji jak dla paraboli:

   

Dla osób, które lubią zapamiętywać długie wzory:

   

Jest to ogólny wzór na mimośród dowolnego rodzaju orbity.

Zadania

1. W odległości od Ziemi pewna planetoida ma prędkość ku środkowi masy Ziemi , natomiast prędkość do niej prostopadłą (styczną) . Oblicz, czy planetoida zderzy się z Ziemią (promień planety , masa ). Pomiń wpływ grawitacji Księżyca, Słońca oraz innych planet.

2. (IOAA 2010) Sonda kosmiczna zostaje wystrzelona z Ziemi i szybko rozpędzona do swojej maksymalnej prędkości w kierunku heliocentrycznej orbity Ziemi w taki sposób, że jej trajektoria jest parabolą z Słońcem w ognisku, styczną do orbity Ziemi. Przyjmij, że orbity Ziemi i Marsa są współpłaszczyznowymi okręgami. Zastosuj następujące przybliżenie: przez większość lotu należy uwzględniać wyłącznie grawitację Słońca, natomiast podczas krótkiego zbliżenia do planety – wyłącznie grawitację tej planety.

   • Jaki jest kąt pomiędzy torem lotu sondy a orbitą Marsa w punkcie ich przecięcia, pomijając wpływ grawitacyjny Marsa?

   • Zakładając, że w chwili przecięcia orbit Mars znajduje się bardzo blisko tego punktu – jaka jest (z perspektywy obserwatora na Marsie) prędkość zbliżania się sondy oraz jej kierunek zbliżania (względem Słońca), zanim grawitacja Marsa zacznie znacząco wpływać na jej ruch?

Rozwiązania

Kliknij, aby rozwinąć…

Zadanie 1

Wyznaczmy całkowity moment pędu na jednostkę masy:

   

Z momentu pędu otrzymamy wielkość perygeum, czyli informację, czy planetoida zderzy się z Ziemią:

   

Prędkość w perygeum otrzymamy z zasady zachowania energii:

   

Gdzie

   

Otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań – jedno z zasady zachowania momentu pędu, drugie z zasady zachowania energii mechanicznej – który trzeba rozwiązać. Podstawmy przekształcone równanie pierwsze:

   

Do drugiego:

   

Po przekształceniach powstanie równanie kwadratowe:

   

   

Gdzie

   

   

   

Otrzymujemy równanie

   

Którego rozwiązania to  oraz . Drugie odrzucamy jako niefizyczne (dotyczy drugiej gałęzi hiperboli). Ponieważ , to planetoida zderzy się z Ziemią.

Zadanie 2

Rozwiązanie zadania 2, wraz z jego oryginalną treścią, można znaleźć w publikacji IOAA Book na stronach odpowiednio 103 i 17 (zad. 17 z działu Celestial Mechanics).

Korekta – Adam Piznal