II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 4 serii

Treść

Korzystając z dostępnych źródeł, oszacuj zmianę współrzędnych równikowych gwiazdy Regulus ( $\alpha$ Leo) w ciągu najbliższych 100 lat. Opisz wpływ poszczególnych czynników na ruch Regulusa po nieboskłonie w wybranym okresie czasu, pozwalającym na obrazowe pokazanie skali wpływu poszczególnych zjawisk. Porównaj działanie podanych zjawisk z przypadkiem, gdyby analizowanym obiektem była Gwiazda Polarna – Polaris Australis ( $\sigma$ Oct). Opisy mogą być wspomagane rysunkami.

Autor: Michał Jagodziński

Rozwiązanie

Na potrzeby zadania założymy, że jesteśmy obecnie w epoce J2000.0. Na początku zapiszmy interesujące nas dane dotyczące Regulusa ( $\alpha$ Leo):

$\alpha_{L} = 10^\text{h} 08^\text{m} 22,3^\text{s} = 152,0971^\circ; \quad \delta_{L} = +11^\circ 58' 02,0'' = 11,9672^\circ;$

$\mu_{L\alpha} = -248,73 \, \text{mas/yr}; \quad \mu_{L\delta} = +5,59 \, \text{mas/yr}; \quad \pi_L = 41,1 \, \text{mas};$

gdzie kolejno powyżej podaliśmy rektascensję Regulusa ( $\alpha$ ), jego deklinację ( $\delta$ ), ruchy własne ( $\mu$ ) w rektascensji oraz deklinacji, a także jego paralaksę heliocentryczną ( $\pi$ ). Analogicznie postępujemy w przypadku Polaris Australis ( $\sigma$ Oct):

$\alpha_{O} = 21^\text{h} 08^\text{m} 46,9^\text{s} = 317,1954^\circ; \quad \delta_{O} = -88^\circ 57' 23,4'' = -88,9565^\circ;$

$\mu_{O\alpha} = +26,32 \, \text{mas/yr}; \quad \mu_{O\delta} = +4,72 \, \text{mas/yr}; \quad \pi_O = 11,1 \, \text{mas}.$

Zapiszemy także wzory (ich wyprowadzenie sprowadza się do rozwiązania prostego trójkąta sferycznego – krótkie wyjaśnienie dwóch z nich można znaleźć w dedykowanym artykule). Warto zauważyć asymetrię pomiędzy pierwszym a trzecim spośród wzorów (*) – wynika ona z wzajemnego ustawienia ekliptyki oraz równika niebieskiego. Dla rekstascensji/długości ekliptycznej znajdującej się w przedziale 0-12 h, ekliptyka znajduje się bliżej Polaris (ma dodatnią deklinację) niż równik niebieski. Jest to kluczowe do obliczenia właściwego trójkąta sferycznego. Aby nie pomylić się w poprawnym ustawieniu ekliptyki oraz równika niebieskiego, warto skorzystać ze znajomości nieba – Byk i Bliźnięta (gwiazdozbiory ekliptyczne) znajdują się „powyżej” Oriona (gwiazdozbiór równikowy); przydatna może się także okazać znajomość równania ekliptyki: $\tan \delta = \sin \alpha \tan \varepsilon$ , pozwalającego na transformację pomiędzy układami współrzędnych równikowych równonocnych oraz ekliptycznych (długość i szerokość ekliptyczna — $\lambda, \beta$ ):

(*) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sin \beta &= \sin \delta \cos \varepsilon - \cos \delta \sin \varepsilon \sin \alpha \\ \cos \alpha \cos \delta &= \cos \lambda \cos \beta \\ \sin \delta &= \sin \beta \cos \varepsilon + \cos \beta \sin \varepsilon \sin \lambda, \end{aligned} \end{equation*}$

gdzie przez $\varepsilon = 23,435^\circ$ oznaczyliśmy kąt między płaszczyzną ekliptyki a płaszczyzną równika.

Przyjmiemy taką wartość nachylenia osi Ziemi jako stałą, choć jest to jedynie (grubo) przybliżona średnia wartość nachylenia na okresie 100 lat. Warto pamiętać, że średnia wartość $\varepsilon$ jest zmienna w czasie — zmniejsza się o prawie 47 sekund kątowych na stulecie (zgodnie Rocznikiem astronomicznym na rok 2023, Instytut Geodezji i Kartografii, s.165). Przyjęta wartość nachylenia ma istotny wpływ na błąd w uzyskanych wynikach.

Stąd uzyskujemy współrzędne ekliptyczne gwiazd $\alpha$ Leo oraz $\sigma$ Oct (pamiętając o dwuznaczności wartości funkcji odwrotnych do funkcji sinus i cosinus Warto zauważyć, że znając jedne współrzędne (np. ( $\alpha, \delta$ )), wyłącznie z pomocą wzorów można stwierdzić, które wartości powinny przyjąć drugie współrzędne ( $\lambda, \beta$ ). Z pomocą pierwszego wzoru obliczamy $\sin \beta$ , który jednoznacznie wyznacza $\beta$ na przedziale od $-90^\circ$ do $+90^\circ$ . Z pomocą zaś drugiego wzoru w jednoznaczny sposób uzyskujemy $\cos \lambda$ , co daje nam dwóch kandydatów na wartość $\lambda$ . Niepoprawną wartość łatwo możemy wyeliminować, sprawdzając znaną wartość $\sin \delta$ z wzoru trzeciego, w którym na $\lambda$ dla odmiany zostaje wykonana funkcja sinus:

$\lambda_L = 149,8291^\circ = 149^\circ 49' 44,8''; \quad \beta_L = 0,4670^\circ = 0^\circ 28' 1,2''$

$\lambda_O = 271,8711^\circ = 271^\circ 52' 16,0''; \quad \beta_O = -65,8395^\circ = -65^\circ 50' 40,2''$

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od rozpatrzenia cyklicznych czynników zmieniających obserwowane z Ziemi współrzędne równikowe wybranej gwiazdy. Pomijamy przy tym wpływ ziemskiej atmosfery (refrakcja) oraz efektów relatywistycznych z wyjątkiem skończonej wartości prędkości światła (na potrzeby analizy aberracji światła).

Pierwszym czynnikiem perturbującym współrzędne obserwowane z Ziemi w cyklu rocznym będzie paralaksa heliocentryczna wynikająca z ruchu obiegowego Ziemi wokół Słońca. W przybliżeniu kołowej orbity Ziemi, sprawia ona, że gwiazda obraca się wokół punktu, w którym byśmy jej oczekiwali (w układzie inercjalnym), po „elipsie” na sferze niebieskiej o wielkiej półosi równoległej do kierunku długości ekliptycznej i długości $\pi$ oraz o prostopadłej małej półosi wzdłuż kierunku szerokości ekliptycznej o długości $\pi \sin \beta$ . Długości tych półosi to dla Regulusa $41,1 \, \text{mas}$ oraz $0,33 \, \text{mas}$ a dla Polaris Australis $11,1 \, \text{mas}$ oraz $10,1 \, \text{mas}$ .

Kolejnym czynnikiem jest aberracja roczna wynikająca z ruchu obiegowego Ziemi wokół Słońca i skończonej wartości prędkości światła. Gwiazda, podobnie jak w przypadku paralaksy, ze względu na aberrację roczną poruszać się będzie po ,,elipsie” na sferze niebieskiej o wielkiej półosi równoległej do kierunku długości ekliptycznej o długości $K = 20,5^{''}$ (Stała aberracji rocznej dla epoki J2000.0 zgodnie z Rocznikiem astronomicznym na rok 2023 s. 163) oraz prostopadłej małej półosi o długości $K \sin \beta$ — wynoszącej dla Regulusa $0,2''$ , dla Polaris Australis zaś $18,7''$ .

Składnikiem trudnym do uwzględnienia jest nutacja (osobna od precesji), która nie jest cykliczna ani symetryczna. Jej główny cykliczny składnik ma wielkość równą stałej nutacji równą ok. $9,2''$ .

Główną częścią rozwiązania było jednak omówienie wpływu precesji lunisolarnej oraz ruchów własnych gwiazdy na zmianę współrzędnych równikowych. Wpływ samych ruchów własnych na okresie 100 lat (krótkim) i tak niewielkich zmianach kątowych można obliczyć z pomocą przybliżenia geometrii płaskiej $\theta = \mu \cdot \Delta t$ , gdzie $\theta$ to całkowite przesunięcie kątowe gwiazdy w czasie $\Delta t = 100 \, \text{yr}$ , a przybliżone roczne przesunięcie (uznane za stałe) wyznaczone jest przez

$\mu~=\sqrt{\mu_\delta^2 + (\mu_\alpha \cos \delta)^2},$

przy czym czynnik $\cos \delta$ wynika z faktu, iż przesunięcie wzdłuż rektascensji poza równikiem niebieskim podąża wzdłuż koła małego na sferze niebieskiej.
Otrzymujemy całkowite przesunięcie w czasie 100 lat wynikające z ruchów własnych: dla Regulusa $\theta_L = 24,39''$ , a dla Polaris Australis $\theta_O = 0,47''$ .

Na potrzeby obliczeń dotyczących wpływu precesji (pomijając wszystkie pozostałe zjawiska w tym ruchy własne) możemy zaś efektywnie podejść do problemu. Zakładając stałe położenie płaszczyzny ekliptyki względem „reszty wszechświata”, precesja powoduje zmianę położenia bieguna niebieskiego, zachowując jego szerokość ekliptyczną, zmieniając zaś jego położenie równolegle do płaszczyzny ekliptyki w przybliżeniu w stałym tempie. Przesunięcie bieguna niebieskiego, definiującego układ współrzędnych równikowych, powoduje analogiczne przesunięcie punktu Barana, zdefiniowanego jako przecięcie płaszczyzny ekliptyki (na sferze niebieskiej) z płaszczyzną prostopadłą do obu biegunów niebieskich na sferze niebieskiej, nazywanej równikiem niebieskim. Gdybyśmy przyjęli pewien układ współrzędnych związany z ekliptyką (do liczenia szerokości ekliptycznej) oraz pewną odległą gwiazdą na ekliptyce (jako punkt zerowy nowej „długości ekliptycznej”), wówczas biegun niebieski zmieniałby swoją „długość ekliptyczną” w tempie $u_\lambda$ i w tym samym tempie przemieszczałby się punkt Barana (o „długości ekliptycznej” równej „długości” bieguna niebieskiego pomniejszonej o $90^\circ$ ). Biegun niebieski jest punktem niezwiązanym z „resztą wszechświata” — to znaczy, że w „nowym układzie współrzędnych ekliptycznych” (z ,,nową długością ekliptyczną” zamiast długości ekliptycznej) gwiazdy mają w przybliżeniu stałe współrzędne, zaś układ współrzędnych równikowych jest układem, który obraca się wokół „nowego układu” w tempie $u_\lambda$ wzdłuż ekliptyki (wokół osi związanej z biegunami ekliptycznymi). Ponieważ jednak prawdziwy układ współrzędnych ekliptycznych jest w pewnym sensie związany z układem współrzędnych równikowych — przez ruchomy punkt Barana jako punkt zerowy długości ekliptycznej — stałość „nowego układu ekliptycznego” możemy osiągnąć poprzez nieustanne zwiększanie prawdziwej długości ekliptycznej każdego z analizowanych obiektów. Dzięki temu zachowujemy wzory łączące układy współrzędnych równikowych i ekliptycznych, a sama sfera niebieska zdaje się obracać wzdłuż ekliptyki w tempie $u_\lambda$ .

Zakładając, że gwiazda ma stałą współrzędną szerokości ekliptycznej, a jej długość ekliptyczna zmienia się w stałym tempie równym $u_\lambda = +360^\circ/T_P$ , gdzie $T_P \approx 25700 \, \text{yr}$ to rok platoński, czyli okres precesji osi obrotu Ziemi. Traktując układ współrzędnych ekliptycznych jako erzac układu inercjalnego, przechodząc z współrzędnych obecnych do współrzędnych za 100 lat, obierzemy najpierw obecne współrzędne ekliptyczne danej gwiazdy, następnie uwzględnimy w niej zmianę długości ekliptycznej na okresie 100 lat, a na koniec przekonwertujemy nowe współrzędne ekliptyczne na współrzędne równikowe z wykorzystaniem wzorów (*). Zmiana długości ekliptycznej każdej z gwiazd na okresie 100 lat wynosi $\Delta \lambda = u_\lambda \cdot \Delta t = \frac{+360^\circ \cdot 100}{25700} = +1,4008^\circ = +1^\circ 24' 2,8''$ . Zatem po 100 latach długość ekliptyczna Regulusa to: $\lambda'_L = 151^\circ 13' 47,6''$ , a Polaris Australis: $\lambda'_O = 273,2719^\circ = 273^\circ 16'18,8''$ . Z wykorzystaniem wzorów (*) odzyskujemy więc współrzędne równikowe po czasie 100 lat — dla Regulusa mamy:

$\alpha'_L = 10^\text{h} 13^\text{m} 43,3^\text{s}; \quad \delta'_L = +11^\circ 28' 11,2''$

$\delta \alpha_L = \alpha'_L - \alpha_L = 0^\text{h} 5^\text{m} 21,0^\text{s}; \quad \delta \delta_L = \delta'_L - \delta_L = -0^\circ 29'50,8''.$

A przesunięcie kątowe współrzędnych wynikające z precesji szacujemy przez:

$\theta_L \approx \sqrt{(\delta \alpha_L \cos \delta_L)^2 + \delta\delta_L^2} = 1^\circ 24'.$

Analogicznie czynimy dla Polaris Australis:

$\alpha'_O = 22^\text{h} 11^\text{m} 30,8^\text{s}; \quad \delta'_O = -88^\circ 29' 46,8''$

$\delta \alpha_O = 1^\text{h} 02^\text{m} 43,9^\text{s}; \quad \delta \delta_O = +0^\circ 27' 36,6''; \quad \theta_O \approx \sqrt{(\delta \alpha_O \cos \delta_O)^2 + \delta\delta_O^2} = 0^\circ 37'.$

Widzimy więc, że w przypadku obu analizowanych gwiazd, to precesja stanowi najważniejszy czynnik powodujący zmianę współrzędnych równikowych na okresie 100 lat, stanowiąc zmianę kilkudziesięciu minut kątowych w porównaniu do pozostałych zjawisk, o skali nieprzekraczającej~kilkudziesięciu sekund kątowych.

Na zakończenie możemy spróbować w przypadku Regulusa uwzględnić zarazem ruch precesyjny osi Ziemi, jak i jego ruchy własne, sprawdzając o ile zmieni się uzyskany wynik. Obecne współrzędne równikowe i ekliptyczne Regulusa są oczywiście znane. „Zinercjalizujemy” teraz układ współrzędnych równikowych — zapomnimy na chwilę o istnieniu precesji i przyjmiemy, że odległe gwiazdy są statyczne w tym układzie nawet po długim czasie. Wiemy teraz, o ile powinny zmienić się odpowiednie współrzędne równikowe Regulusa, by uwzględnić ruch własny — współrzędne uwzględniające ruch własny oznaczymy jako $(\alpha_{L+}, \delta_{L+})$ . Dostajemy:

$\alpha_{L+} = \alpha_L - 0^\circ 0' 24,9'' = \alpha_L - 0^\text{h} 0^\text{m} 1,7^\text{s} = 10^\text{h} 08^\text{m} 20,6^\text{s}; \quad \delta_{L+} = \delta_L + 0,6'' = +11^\circ 58' 02,6''.$

Wiedząc teraz, gdzie powinien skończyć swoją podróż na sferze niebieskiej Regulus, gdyby nie było precesji, możemy sobie przypomnieć o jej istnieniu. W tym celu najpierw przechodzimy do współrzędnych ekliptycznych, jak poprzednio:

$\lambda_{L+} = 149^\circ 49' 21,3''; \quad \beta_{L+} = +0^\circ 27' 53,0''$

Następnie uwzględniamy precesję, obliczając współrzędną długości ekliptycznej po 100 latach:

$\lambda'_{L+} = 149^\circ 49' 21,3'' + 1^\circ 24' 2,8'' = 151^\circ 13' 24,1''$

A na koniec wracamy do współrzędnych równikowych poprzez przejście z współrzędnych ekliptycznych $(\lambda'_{L+}, \beta_{L+})$ :

$\alpha'_{L+} = 10^\text{h} 13^\text{m} 41,8^\text{s}; \quad \delta'_{L+} = +11^\circ 28' 19,6''$

$\delta \alpha_{L+} = \alpha'_{L+} - \alpha_L = 5^\text{m} 19,5^\text{s}; \quad \delta \delta_{L+} = \delta'_{L+} - \delta_L = 0^\circ 29' 42,4''$

Dodatkowe uwzględnienie nutacji do precesji spowodowało więc w przypadku Regulusa (gwiazdy o dużych ruchach własnych) zmniejszenie otrzymanej rekstascensji o ok. $1,5^\text{s}$ oraz zwiększenie uzyskanej deklinacji o ok. $8,4$ sekundy kątowej, co i tak ze względu na zastosowane przybliżenia opatrzone jest bardzo dużym błędem. Z tego powodu w astrometrii kluczowe jest dobre ustalenie układu odniesienia oraz szczegółowe przewidywanie oddziaływań wewnątrz Układu Słonecznego (i nie tylko), do poprawnego ustalenia m.in. ustawienia ekliptyki, osi Ziemi i prędkości obserwowanego obiektu w danym układzie, na potrzeby zaś amatorskich oszacowań uwzględnienie precesji jest najczęściej wystarczające.

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka

Źródła: