Treść
Małe ciało niebieskie leciało przez kosmiczną przestrzeń, a kiedy zbliżyło się dostatecznie, z Ziemi było widać je świetnie. Niestety, astronomowie zaczęli mieć obawy, czy małe ciało nie zbliży się nazbyt dostatecznie, i nie zderzy z Ziemią. Na podstawie obserwacji udało im się ustalić, że obiekt znajduje się w odległości 
równej 
tys. km, jego prędkość radialna 
wynosi 
km/s, a prędkość kątowa względem obserwatora w układzie inercjalnym 
to 
deg/s. Sprawdź, czy istnieje ryzyko zderzenia małego ciała niebieskiego z Ziemią.
Rozwiązanie
W zadaniu mamy dane dwie składowe prędkości: radialną („od” obserwatora) oraz tangencjalną (równą iloczynowi prędkości kątowej i odległości do obiektu). Całkowita długość wektora prędkości jest więc równa ich sumie.
(1) 
Z danych w zadaniu znamy prędkość i odległość początkową naszego małego ciała, a więc posiadamy wszystkie niezbędne informacje, aby policzyć potencjał naszego ciała. Mnożąc go przez masę otrzymujemy wyrażenie na energię całkowitą początkową.
(2) 
Rozważany przez nas obiekt znajduje się w polu centralnym. Oznacza to, że jego energia pozostaje zachowana. Możemy rozpatrzyć energię jaką osiągnie to ciało w punkcie na orbicie, gdy znajdzie się najbliżej Ziemi. Jeżeli okaże się, że ta minimalna odległość przekracza długość promienia planety, to do zderzenia nie dojdzie.
(3) 
Widzimy, że w wyrażeniu na energię w perycentrum (najbliższym punkcie od ogniska na orbicie) mamy aż 3 niewiadome. Spróbujmy je wyeliminować. Po pierwsze, wiemy że w perycentrum ciało nie posiada prędkości radialnej (niezależnie czy porusza się po elipsie czy innej krzywej stożkowej). Możemy więc wyeliminować jedną niewiadomą, ponieważ za v’ wstawiamy zero. Po drugie, możemy skorzystać z zasady zachowania momentu pędu (
const). Dzięki temu możemy pozbyć się drugiej niewiadomej – prędkości kątowej w perycentrum.
(4) 
Przyrównując do siebie energię w początkowym punkcie i perycentrum zgodnie z zasadą zachowanie energii, otrzymujemy wyrażenie, gdzie jedyną zmienną jest poszukiwane r’.
(5) 
Możemy zastosować podstawienie 
i wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe, którego wynik po rozwiązaniu wynosi:
(6) 
W równaniu kwadratwym otrzymujemy dwie moliwości (co wynika z faktu, ze dwa punkty na orbicie spełniają nasze załozenia o zerowej prędkości radialnej – poza perycentrum jest jeszcze apocentrum). Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy jeden wynik ujemny (który możemy odrzucić jako niefizyczny), oraz drugi równy około 6290 km. Przyjmując, ze średni promień Ziemi to 6370 km, otrzymujemy odpowiedź – małe ciało niebieskie się z nami zderzy.
Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.
Korekta – Zofia Lamęcka
