Z tego możemy też otrzymać użyteczne czasem zależności:

Parametry orbitalne

Zanim zaczniemy, zdefiniujmy kilka niezbędnych pojęć, których będziemy używać tutaj i w kolejnych artykułach. Przed kontynuowaniem powinieneś też przypomnieć sobie astronomię sferyczną (w szczególności układy współrzędnych i sferę niebieską).

• Płaszczyzna odniesienia: dowolna, arbitralnie przyjęta powierzchnia, względem której określamy parametry orbitalne. W Układzie Słonecznym za płaszczyznę odniesienia najczęściej przyjmuje się ekliptykę lub, w przypadku księżyców, równik ciała centralnego. Dla egzoplanet płaszczyzną odniesienia jest płaszczyzna styczna do sfery niebieskiej w miejscu gwiazdy macierzystej.

• Kierunek odniesienia: arbitralnie przyjęty kierunek w płaszczyźnie odniesienia używany do zdefiniowania elementów orbitalnych. Kierunkiem odniesienia jest zazwyczaj punkt równonocy wiosennej (punkt Barana), oznaczany ♈︎.

• Linia węzłów: prosta, na której płaszczyzna orbity przecina płaszczyznę odniesienia.

• Węzeł wstępujący (ang. Ascending node, ☊): punkt, w którym orbita przecina płaszczyznę odniesienia, a ciało przechodzi z półkuli południowej na północną (w umowną górę). Jak można się spodziewać, leży na linii węzłów.

• Węzeł zstępujący (ang. Descending node, ☋): punkt, w którym orbita przecina płaszczyznę odniesienia, a ciało przechodzi z półkuli północnej na południową (w umowny dół). Leży na linii węzłów.

• Perycentrum (q): punkt, w którym krążące ciało znajduje się najbliżej ciała centralnego (ogniska elipsy). Jeśli ciałem centralnym jest Słońce, punkt ten nazywamy też peryhelium, a jeśli ciałem centralnym jest Ziemia – perygeum.

• Apocentrum (Q): punkt, w którym krążące ciało znajduje się najdalej od ogniska elipsy. Jeśli ciałem centralnym jest Słońce, punkt ten nazywamy aphelium. Jeśli ciałem centralnym jest Ziemia, apogeum.

• Linia apsyd: prosta łącząca perycentrum i apocentrum. Zawiera się w niej oś wielka orbity.

• Epoka: w astronomii po prostu ściśle określony moment w czasie (konkretna data i godzina), funkcjonujący jako uniwersalny punkt odniesienia. Dlaczego jest niezbędna? Orbity w rzeczywistości nie są stałe – pod wpływem oddziaływań grawitacyjnych innych ciał powoli się zmieniają. Podając parametry orbity, musimy też podać, dla jakiego momentu w czasie są one dokładne.

• Anomalia: pozwala jednoznacznie określić, gdzie dokładnie na torze ruchu znajduje się obiekt względem ogniska. W mechanice nieba to po prostu pewien kąt, mówiący o położeniu obiektu. Nazewnictwo jest reliktem historycznym z czasów ptolemejskich, wywodzącym się z prób opisania „nieregularnego” ruchu planet. Dziś anomalia to miara odległości kątowej obiektu od charakterystycznego punktu orbity – najczęściej od perycentrum.

• Anomalia prawdziwa (): najbardziej intuicyjny rodzaj anomalii. Jest to kąt zawarty między kierunkiem na perycentrum a bieżącym położeniem ciała na orbicie, mierzony w ognisku elipsy (tam, gdzie znajduje się ciało centralne). Jeśli wynosi , oznacza to, że ciało znajduje się w perycentrum. Gdy wynosi , ciało mija apocentrum. Ponieważ zbiega się to z drugim prawem Keplera, obiekt porusza się szybciej w pobliżu perycentrum, przez co anomalia prawdziwa nie rośnie w czasie równomiernie, co utrudnia proste przewidywania jej wartości na przyszłość.

Gdy chcemy określić jednoznacznie swoje położenie na Ziemi, wystarczy podać dwie liczby: długość i szerokość geograficzną. W kosmosie sytuacja jest jednak znacznie bardziej skomplikowana – przestrzeń jest trójwymiarowa, obiekty poruszają się po krzywych o różnych kształtach, a same orbity mogą być pochylone i obrócone w dowolnym kierunku. W celu ich zdefiniowania stosuje się tak zwane parametry orbitalne.

Lasunncty via Wikimedia Commons

Parametry definiujące orbitę w przestrzeni.

Parametry orbitalne to zestaw sześciu liczb, które w sposób jednoznaczny i kompletny opisują rozmiar, kształt i orientację przestrzenną orbity, a także aktualną pozycję obiektu, który się po niej porusza.

Poznaliśmy już parametry definiujące kształt orbity. Są to:

• półoś wielka
• mimośród (ekscentryczność)

Znając je, mamy już kompletne pojęcie na temat rozmiaru i kształtu orbity. Dla orbit o dużym mimośrodzie, np. dla komet, gdzie nie jesteśmy w stanie dokładnie określić całkowitej wielkości orbity, używa się często odległości perycentrum zamiast półosi wielkiej. Jest to wielkość łatwiejsza do zmierzenia i bezpośrednio dla nas użyteczna – w końcu komety obserwujemy jedynie w okolicach perycentrum.

Wiemy już, jak wygląda sama orbita, ale nie mamy pojęcia o jej ułożeniu w przestrzeni. Przyjrzyjmy się więc teraz innym parametrom.

Inklinacja (nachylenie) to kąt między płaszczyzną orbity a płaszczyzną odniesienia zdefiniowany by mierzyć nachylenie między nimi w konkretnym kierunku. Orbita o  leży dokładnie na płaszczyźnie odniesienia, a orbita o  to tzw. orbita polarna (przechodząca nad biegunami). Jeśli mamy do czynienia z orbitą wsteczną, która leży na płaszczyźnie odniesienia, ale ruch na niej odbywa się w przeciwnym kierunku niż ogólnie przyjęty. Ruch wsteczny jest dobrym wyznacznikiem obcego pochodzenia orbitującego ciała, którego przeciwny moment pędu można wytłumaczyć jedynie przechwyceniem grawitacyjnym przez ciało centralne. Taki ruch wykazuje na przykład Tryton (księżyc Neptuna) i niektóre księżyce Jowisza i Saturna. Planety Układu Słonecznego charakteryzują się niską inklinacją od  dla Urana do  dla Merkurego. Większe nachylenia orbit obserwujemy w przypadku asteroid, planet karłowatych i komet.

Nasz kolejny parametr opisuje orientację linii węzłów w płaszczyźnie odniesienia. Długość węzła wstępującego to kąt, który mówi, o ile względem przyjętego punktu odniesienia (zazwyczaj punktu Barana) ten węzeł jest obrócony. Zasadniczo opisuje obrót całej orbity wokół osi pionowej.

Argument perycentrum określa orientację samej elipsy w obrębie jej płaszczyzny. Jest to kąt między węzłem wstępującym a perycentrum orbity.

Wartości argumentu perycentrum i długości węzła wstępującego z grubsza nie podlegają żadnym zależnościom statystycznym (z paroma wyjątkami, których omówienie zajęłoby sporo czasu). Możesz się spodziewać, że dla ciał Układu Słonecznego wartości tych parametrów będą równomiernie rozłożone od  do .

Wyobraźmy sobie orbitę o inklinacji bliskiej zeru. W takim układzie płaszczyzna orbity niemal idealnie pokrywa się z płaszczyzną odniesienia, przez co zlokalizowanie samej linii węzłów (w tym węzła wstępującego) staje się bardzo trudne geometrycznie, a przy inklinacji wynoszącej dokładnie jest wręcz matematycznie niemożliwe. Z tego powodu, aby zachować ciągłość obliczeń, wprowadza się alternatywny parametr: długość perycentrum . Jest to po prostu suma długości węzła wstępującego i argumentu perycentrum (). Kąt ten pozostaje dobrze zdefiniowany nawet wtedy, gdy inklinacja spada do zera.

Parametry omówione do tej pory wystarczą, aby narysować w przestrzeni tor, po którym porusza się obiekt. Jednak aby znaleźć na nim sam obiekt w konkretnej chwili, potrzebujemy zająć się też czasem.

Moment przejścia przez perycentrum to moment (epoka), w którym orbitujące ciało znajduje się w perycentrum. Wartość ta nie jest zdefiniowana dla orbit kołowych, ponieważ nie mają one jednoznacznie określonego punktu perycentrum. Moment przejścia przez perycentrum będzie nam służył jako parametr definiujący położenie ciała w czasie, gdyż, znając go, możemy znaleźć to położenie dla dowolnego momentu lub określić, kiedy ciało znajdzie się w danym miejscu. Zajmiemy się tym w artykule o równaniu Keplera.

Zadania

Umiejętność korzystania z prostych zależności geometrycznych na orbicie eliptycznej przydaje się niesamowicie często i w zadaniach o bardzo różnej tematyce. Warto więc opanować je tak, by były pierwszą intuicyjną myślą, która pojawia się w głowie, gdy widzimy słowa „mimośród” czy „półoś wielka”. Parametry orbitalne, takie jak długość węzła wstępującego czy argument perycentrum, rzadko spotkamy w zadaniu, bo obliczenia z nimi związane często wymagają użycia macierzy i wektorów opisanych w układzie kartezjańskim, co wykracza poza zakres merytoryczny Olimpiady. Inklinacja natomiast jest powszechnie używanym terminem przy układach podwójnych i orbitach egzoplanet, spotkamy ją więc jeszcze wiele razy.

Zadanie autorskie

Pewna kometa porusza się po eliptycznej orbicie wokół Słońca. Z obserwacji wynika, że w swoim peryhelium kometa zbliża się do ogniska orbity na odległość , natomiast w aphelium oddala się na odległość .

Oblicz półoś wielką, mimośród i okres obiegu tej komety.

Rozwiązanie

Zadanie autorskie
(na podstawie H. Chrupała, J. Kreiner M. Szczepański „Zadania z astronomii z rozwiązaniami”, zadanie 2.15)

W jakich granicach może zmieniać się średnica kątowa Marsa obserwowanego w opozycjach? Elementy orbity Marsa: au, , promień fizyczny Marsa km. Rozpatrz 2 przypadki:
a) Przyjmij, że orbita Ziemi jest okręgiem o promieniu au, a orbity obu planet leżą w tej samej płaszczyźnie.
b) Przyjmij, że obie orbity są kołowe, a inklinacja orbity Marsa względem ekliptyki wynosi .

Rozwiązanie