Poradnik OA. Mechanika nieba 1: Grawitacja

Obrazek wyróżniający: ESA/Hubble & NASA

Mechanika nieba to gałąź astronomii zajmująca się opisem ruchów i oddziaływań ciał niebieskich na gruncie mechaniki klasycznej zaproponowanej przez sir Izaaka Newtona. W tym artykule zapoznamy się z podstawowymi zasadami, jakimi rządzi się jedna z podstawowych sił natury – grawitacja.

Co to jest grawitacja?

Wydawałoby się, że jest to bardzo proste pytanie. Obecne zmagania fizyków z naturą tego zjawiska wręcz utrudniają odpowiedzenie na nie. W tym artykule nie będziemy wnikać w teorię grawitacji Einsteina, ponieważ nie potrzebujemy jeszcze aż takiej dokładności. Wystarczy nam zwykłe ujęcie klasyczne zaproponowane przez Newtona. Na takim gruncie możemy odpowiedzieć, że grawitacja to siła przyciągania się ciał posiadających masę. Istnieje wzór pozwalający obliczyć wartość tej siły:

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

Gdzie $G$ to stała grawitacji, najmniej dokładnie znana stała fizyczna, która wynosi w przybliżeniu $6,67430 \times 10^{-11} \text{ N}\frac{\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ . $m_1$ i $m_2$ to masy dwóch oddziałujących ze sobą grawitacyjnie ciał, natomiast $r$ – odległość pomiędzy ich środkami mas. Kierunek wektora siły grawitacji pokrywa się z prostą łączącą środki mas ciał, a zwrot jest zawsze w stronę drugiego ciała.

Co to jest środek masy?

Bardzo ważne pojęcie, które jest nierozerwalnie związane z pojęciem grawitacji, to środek masy. Newton w swoich Principiach podając prawo ciążenia powszechnego, pisał właśnie o oddziaływaniach środków mas ciał. Intuicyjnie jest to taki punkt (niekoniecznie zawierający się w danym ciele), w którym siły grawitacji pochodzące od każdego najmniejszego elementu ciała lub układu ciał się równoważą. Środkiem masy kuli jest jej środek geometryczny: umieszczając tam masę tzw. próbną, nie będzie oddziaływała na nią żadna siła. Pozostanie w równowadze, choć w tzw. równowadze chwiejnej, a nie stabilnej. Środek masy trójkąta równobocznego znajduje się na jego wysokości, bliżej podstawy niż wierzchołka. Wynika to z ułożenia masy w takim kształcie: jej większa ilość jest bliżej podstawy niż wierzchołka – bo trójkąt jest tam szerszy, zatem „wyciąga” ona środek masy w swoją stronę. To też jest dobre intuicyjne podejście – środek masy znajduje się bliżej tego fragmentu, w którym jest więcej masy.

A teraz czas na matematykę. Jak znaleźć położenie środka masy w danym układzie współrzędnych? Bardzo łatwo. Mając dane współrzędne wszystkich składowych mas układu i ich wartości, używamy wzoru na położenie środka masy:

$x=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+...+m_nx_n}{m_1+m_2+m_3+...+m_n}$

Mając $n$ ciał w układzie, mnożymy każdą masę przez jej położenie, dodajemy do siebie wszystkie iloczyny, a potem dzielimy przez masę całego układu. Tak otrzymujemy położenie środka masy na jednej współrzędnej. Jeśli operujemy na przestrzeni dwu- lub trójwymiarowej, odpowiednio prowadzimy obliczenia dla współrzędnych $y$ i $z$ . Masy pozostają oczywiście te same. Możemy też się pokusić o zapis wektorowy:

$\vec{r}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+m_3\vec{r_3}+...+m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+m_3+...+m_n}$

Taki zapis mówi nam od razu, że operację obliczania położenia środka masy należy poprowadzić dla tylu współrzędnych, ile mamy wymiarów w naszej przestrzeni. Nie trzeba tego robić w układzie kartezjańskim – ważne, żeby wskazane działanie na wektorach pozostało cały czas takie samo. A teraz zapis z notacją wielkiej sigmy:

$\vec{r}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$

Wielka sigma oznacza tutaj po prostu iterowaną sumę, działa tak samo jak pętla for w programowaniu. Jeśli obiekt jest ciągły (np. nieregularny kształt z plasteliny), to do wyznaczenia jego środka masy używamy rachunku całkowego, co wykracza poza zakres merytoryczny tego poradnika. Środki mas dla najczęściej występujących brył są wyznaczone i dostępne w różnych źródłach.

Przy obliczeniach środka masy warto zawsze poszukiwać takiego układu współrzędnych, w którym rachunek będzie najmniej skomplikowany.

Michał Stefanik

Punkty na rysunku reprezentują ciała. Promień punktu jest proporcjonalny do jego masy. Krzyżykiem zaznaczono środek masy układu.

Na powyższym rysunku zaznaczone są pojedyncze wektory sił grawitacji. Wektor wypadkowy zawsze będzie skierowany do środka masy układu.

Pole grawitacyjne

Pole w fizyce to właściwość danej przestrzeni – to definicja intuicyjna. Pole grawitacyjne określa przestrzeń, w której zachodzi oddziaływanie grawitacyjne. Z formalnego punktu widzenia pole to przestrzenny rozkład pewnej wielkości fizycznej; innymi słowy funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi w przestrzeni pewną wielkość. Pole grawitacyjne to pole wektorowe – dla każdego punktu można określić jeden wektor, który określa siłę oddziaływania. Wektor ten to natężenie pola grawitacyjnego, o wartości (module, długości) równej sile przypadającej na jednostkę masy w danym punkcie. W układzie SI jest to jednostka niuton na kilogram ( $\frac{\text{N}}{\text{kg}}$ ), swoją drogą równa jednostce przyspieszenia liniowego. Jednakże nie należy ich używać zamiennie – $\frac{\text{N}}{\text{kg}}$ to jednostka wyłącznie natężenia pola grawitacyjnego, a $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ – wyłącznie przyspieszenia liniowego.

Wektor natężenia pola grawitacyjnego leży na kierunku wyznaczanym przez wybrany punkt oraz źródło pola, ku któremu jest też zwrócony. Wartość tego wektora wyprowadzamy z prawa ciążenia powszechnego:

$\gamma=\frac{F}{m}=\frac{G\frac{Mm}{r^2}}{m}=\frac{GM}{r^2}$

$\gamma$ to wartość natężenia, $M$ – masa źródła pola, a $r$ – odległość punktu od źródła (oczywiście mowa tu cały czas o środku masy). Jeżeli liczymy wielkość oznaczaną $\gamma$ (gamma), to wyrażamy ją w niutonach na kilogram. Jeżeli liczymy wielkość $g$ , czyli przyspieszenie grawitacyjne, to oznaczamy je jednostką metr na sekundę do kwadratu.

Możemy też obliczyć energię potencjalną układu oddziałującego ze sobą grawitacyjnie. Z definicji jest to praca, którą trzeba wykonać, aby przynieść ciało z nieskończoności do danej odległości od źródła pola. Z racji, że grawitacja to oddziaływanie wyłącznie przyciągające, to wartość tej energii będzie ujemna, ponieważ przy takim procesie to grawitacja wykonuje pracę, a nie my. Energia potencjalna znana ze wzoru $E_p=mgh$ jest zazwyczaj dodatnia, bo za punkt odniesienia przyjmujemy grunt. Liczymy wtedy, ile pracy musimy włożyć, aby podnieść ciało na jakąś wysokość. Tutaj punktem odniesienia jest nieskończoność, tzn. dopiero nieskończenie daleko od ciała energia potencjalna jest zerowa. Z tego wiadomo, że ciała nieskończenie odległe od siebie nie będą ze sobą oddziaływały grawitacyjnie. Wynika to też bardziej ściśle z definicji energii potencjalnej w polu, narzuconej przez samą matematykę:

$\Delta E_p = -W_{pola}$

W tym miejscu odsyłam do całkowego wyprowadzenia wzoru na energię potencjalną pola grawitacyjnego.

Sam wzór prezentuje się następująco:

$E_p = -G\frac{m_1 m_2}{r}$

Energia potencjalna na jednostkę masy to potencjał pola grawitacyjnego oznaczany literą $V$ . Przepisując wzór na energię potencjalną do postaci, która wyróżnia przyjęty schemat źródło pola-obiekt w polu:

$E_p = -G\frac{Mm}{r}$

Możemy rozpisać wzór na potencjał pola:

$V = \frac{E_p}{m} = -\frac{GM}{r}$

Prędkości kosmiczne

Ciało może orbitować wokół drugiego ciała (uściślając: wokół wspólnego środka masy) po czterech różnych krzywych: okręgu, elipsie, paraboli albo hiperboli. Jest to nowoczesne ujęcie I prawa Keplera, które zostało omówione w innym artykule. Na razie zajmiemy się orbitą kołową (czyli orbitą będącą okręgiem, ale w języku polskim przyjęło się nazywać ją kołową, bo okrężna albo okrągła nie brzmi dobrze). Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza pozioma prędkość, którą nadać trzeba obiektowi, aby wszedł on na orbitę kołową tuż nad powierzchnią ciała niebieskiego. Wyprowadzamy ją, przyrównując siłę grawitacji do siły dośrodkowej:

$G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv_{I}^2}{r} \iff v_{I} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Powyższy wzór generalnie pozwala na obliczenie prędkości orbitalnej, czyli takiej, jaką ma satelita krążący po orbicie kołowej o dowolnym promieniu, czyli odległości satelity od środka masy ciała centralnego. Mówiąc o pierwszej prędkości kosmicznej mamy na myśli zawsze promień orbity równy promieniowi obieganego ciała niebieskiego.

Na przykład pierwsza prędkość kosmiczna dla Ziemi to

$v_{I,\oplus} = \sqrt{\frac{6,6743 \times 10^{-11} \text{ N} \frac{ \text{m}^2 }{ \text{kg}^2}\cdot 5,97\times 10^{24} \text{ kg}}{6,371\times 10^{6} \text{ m}}}=7908~ \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Natomiast prędkość orbitalna satelity geostacjonarnego, który krąży 35 786 km nad równikiem, to

$v_{S} = \sqrt{\frac{6,6743 \times 10^{-11} \text{ N} \frac{ \text{m}^2 }{ \text{kg}^2}\cdot 5,97\times 10^{24} \text{ kg}}{6,371\times 10^{6} \text{ m}+35,786\times 10^{6} \text{ m}}}=3074~ \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Obie prędkości zostały obliczone z tego samego wzoru. Jedna z nich to pierwsza prędkość kosmiczna, a druga – prędkość orbitalna przykładowego satelity. Warto zwrócić uwagę, że przy obliczaniu drugiej prędkości został wzięty promień orbity, czyli suma promienia planety oraz odległości satelity od jej powierzchni.

Druga prędkość kosmiczna to minimalna prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby już nigdy nie powróciło do punktu wyjścia – prędkość potrzebna do opuszczenia studni potencjału grawitacji. Załóżmy, że wystrzeliwane ciało ma w nieskończonej odległości energię mechaniczną, czyli sumę energii potencjalnej i kinetycznej, równą zero. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, jej wartość zerową musi mieć również na początku swojej podróży, w odległości $r$ od źródła pola. Mamy zatem:

$\frac{1}{2}mv_{II}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \iff v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Z tych dwóch wzorów wynika ciekawa zależność:

$v_{II} = \sqrt{2}v_{I}$

Wszystkie powyższe zależności zachodzą pod warunkiem $m << M$ , czyli masa ciała, którego liczymy prędkość, jest znacznie mniejsza od masy ciała, wokół którego krąży. Wszystkie dane powinniśmy brać w jednostkach układu SI.

Prawo Gaussa dla grawitacji

To bardzo ważne prawo, które jest pomijane w programie szkoły średniej. Operuje ono na pojęciu strumienia pola grawitacyjnego. W ogólności, w fizyce strumień pola to iloczyn skalarny natężenia tego pola oraz powierzchni, przez którą ono przepływa. Wektor powierzchni jest do niej prostopadły, a w tym prawie dodatkowo przyjęte jest założenie, że ma zwrot na zewnątrz zamkniętej powierzchni. Przekładając to na grawitację, strumień jej pola oznaczany jest grecką literą $\Phi$ (wielkim fi), to:

$\Phi = \vec{\gamma}\cdot\vec{A}$

Prawo Gaussa mówi, że całkowity strumień pola grawitacyjnego przepływający przez zamkniętą powierzchnię jest równy $-4\pi GM$ . Przeanalizujmy to na przykładzie sfery, którą można interpretować jako powierzchnię planety czy gwiazdy. Wektor natężenia centralnego pola grawitacyjnego, którego źródło jest w środku sfery, będzie w każdym punkcie sfery do niej prostopadły, więc obliczenia są proste.

$\Phi = \gamma A = \gamma \cdot 4\pi R^2$

Oraz

$\Phi = -4\pi GM$

Daje razem

$\gamma = -\frac{GM}{R^2}$

Co jest zgodne z wcześniejszym modelem. Minus bierze się ze wspomnianego wcześniej założenia o zwrocie wektora powierzchni.

Najbardziej interesuje nas odpowiedź na pytanie – jakie jest pole grawitacyjne wewnątrz planety? Możemy na nie odpowiedzieć wykorzystując prawo Gaussa. Niech planeta ma promień $R_0$ , a sfera, na której bazujemy obliczenia $R$ taki, że $R < R_0$ . Wtedy

$\gamma = \frac{GM_R}{R^2}$

Gdzie $M_R$ to masa planety zawarta wewnątrz sfery o promieniu $R$ . Wniosek – wewnątrz planety jest takie przyspieszenie grawitacyjne, jak gdyby pole wytwarzała masa zawarta wyłącznie wewnątrz promienia $R$ , tj. odległości punktu wewnątrz planety od środka jej masy.

Zadania

Pluton i jego największy księżyc, Charon, krążą wokół wspólnego środka masy. Masa Plutona wynosi $M_P = 1,303 \times 10^{22}\text{ kg}$ , a masa Charona to $M_C = 1,586 \times 10^{21}\text{ kg}$ . Średnia odległość między ich środkami wynosi $d = 19\,596\text{ km}$ . Oblicz, w jakiej odległości od środka Plutona znajduje się środek masy tego układu. Czy punkt ten leży wewnątrz Plutona, jeśli jego promień wynosi $R_P = 1188\text{ km}$ Umieść początek układu współrzędnych w środku Plutona.
Sonda kosmiczna o masie $m = 500\text{ kg}$ znajduje się na powierzchni Marsa (masa Marsa $M_M = 6,417 \times 10^{23}\text{ kg}$ , promień $R_M = 3389\text{ km}$ ). Oblicz energię potencjalną sondy na powierzchni planety (przyjmując zero w nieskończoności). Jaką minimalną prędkość początkową należy nadać sondzie, aby mogła całkowicie opuścić pole grawitacyjne Marsa?
Wyobraź sobie, że przewiercono na wylot prostoliniowy tunel przechodzący przez sam środek Ziemi. Załóżmy, że Ziemia jest idealną kulą o promieniu $R_Z$ i ma jednorodną gęstość $\rho$ . Korzystając z prawa Gaussa, wyprowadź wzór na natężenie pola grawitacyjnego $\gamma(r)$ wewnątrz Ziemi w funkcji odległości $r$ od jej środka ( $r < R_Z$ ). Wykaż, że siła działająca na ciało o masie $m$ wewnątrz tunelu jest proporcjonalna do wychylenia (analogicznie do siły w ruchu harmonicznym). Wskazówka: Objętość kuli to $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Rozwiązania

Kliknij, aby rozwinąć…

$x = \frac{M_P \cdot x_P + M_C \cdot x_C}{M_P + M_C} = \frac{M_C \cdot d}{M_P + M_C} = 2126 \text{ km} > R_P$
$E_p = -6,6743 \times 10^{-11} \text{ N} \frac{ \text{m}^2 }{ \text{kg}^2} \cdot \frac{500 \text{ kg} \cdot 6,417 \times 10^{23}\text{ kg}}{3,389 \times 10^6 \text{ m}}= -6,32 \text{ GJ}$

$v_{II}= \sqrt{\frac{2\cdot 6,6743 \times 10^{-11}\text{ N} \frac{ \text{m}^2 }{ \text{kg}^2} \cdot 6,417 \times 10^{23}\text{ kg}}{3,389\times 10^6\text{ m}}} = 5027 ~\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Masa zamknięta wewnątrz sfery o promieniu $r$ przy jednorodnej gęstości $\rho$ to $M_{wew} = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ . Podstawiając to do wzoru, otrzymujemy:

$\gamma(r) = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$

Siła grawitacji działająca na ciało o masie $m$ wewnątrz tunelu (skierowana do środka Ziemi, stąd znak minus) wynosi:

$F = -m \cdot \gamma(r) = -\left(\frac{4}{3}\pi G \rho m\right) \cdot r$

Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest stałe ( $k = \frac{4}{3}\pi G \rho m$ ), możemy zapisać:

$F = -k \cdot r$