Choć astronomia zajmuje się całą sferą niebieską, to często sprowadzenie problemu do płaszczyzny ułatwia zadanie bez utraty dokładności jego rozwiązania. Zagadnieniami związanymi z trygonometrią płaską i kątami zajmiemy się w tym rozdziale.

Artykuł napisał Szymon Antkowiak

Twierdzenie sinusów (Snelliusa)

W dowolnym trójkącie płaskim stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały. Można to zapisać symbolicznie w ten sposób:

    \[ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma} \]

Twierdzenie cosinusów (Carnota)

W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. Co można zapisać jako:

    \[ a^2=b^2+c^2-2 bc\sin\alpha \]

Podane prawa odnoszą się do trójkątów oznaczonych jak na rysunku. Naprzeciwko boku a jest kąt alfa, analogiczne dla pozostałych kątów.

Przybliżenia stosowane dla małych kątów

W naukach fizycznych i inżynieryjnych często stosuje się przybliżenie wartości funkcji dla małych kątów:

    \[ \sin\theta = \theta \]

    \[ \tan\theta = \theta \]

    \[ \cos\theta = 0 \]

Przystosowaniu takich przybliżeń warto pamiętać, by wartość konta \thete była wyrażona w radianach.

Paralaksa

W astronomii paralaksa to zjawisko polegające na pozornym przemieszczeniu się obiektu względem innych, bardziej odległych obiektów z powodu przemieszczenia się obserwatora. Występuje zawsze, dla dowolnych obiektów, lecz, by była zauważalna, odległość między miejscami obserwacji musi być bardzo duża. Z tego powodu wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje paralaksy:

  • Paralaksa geocentryczna – związana z wielkością Ziemi i jej obrotem wokół osi. Dla dwóch pomiarów odległych o 12 godzin odległością między miejscami obserwacji jest średnicy Ziemi.
  • Paralaksa heliocentryczna – związana z ruchem obiegowym Ziemi. Dla dwóch pomiarów odległych o pół roku odległością między miejscami obserwacji jest zatem w przybliżeniu dwukrotność promienia orbity Ziemi.

Schematyczne przedstawienie paralaksy heliocentrycznej. Punkty E1 i E2 to miejsca dwóch obserwacji, EO to orbita Ziemi, S to Słońce, NS obserwowany obiekt, natomiast EP1 i EP2 to punkty należące do odległych gwiazd stałych, na których tle obserwujemy nowy obiekt.

Korzystając ze zjawiska paralaksy, możemy określić dystans do obiektów, które temu zjawisku ulegają. Przeprowadza się wówczas dwie obserwacje, wyznaczając położenie obiektu względem sfery gwiazd stałych. Połowę odległości kątowej między tymi położeniami nazywamy kątem paralaksy. Następnie wyznaczamy odległość do danego obiektu, korzystając ze związków trygonometrii płaskiej. Definicja funkcji tangens dla trójkąta prostokątnego wiąże kąt paralaksy z odległością (d) i dystansem pomiędzy miejscami obserwacji (a).

    \[ \tan\varphi = \frac{\frac{1}{2}a}{d} \]

Stosowanie paralaksy wprowadziło do użytku nową jednostkę długości definiowaną jako odległość, z jakiej 1AU jest widoczna jako łuk długości 1’’ (1 sekunda łuku) i wynosi w przybliżeniu 3.26 roku świetlnego. Dla paralaksy heliocentrycznej i małych kątów paralaksy istnieje proste równanie na odległość d = \frac{1}{p} gdzie d jest wyrażone w parsekach, a p w sekundach łuku.

Choć paralaksa wydaje się idealnym zjawiskiem do mierzenia odległości, problemem staje się dokładność mierzenia kąta paralaksy. Realny zasięg obecnych teleskopów kosmicznych to około 1000 parseków.

Elongacja, opozycja, koniunkcja

Poza położeniem w układzie współrzędnych dla ciał Układu Słonecznego stosuje się jeszcze jeden parametr określający położenie. Jest nim elongacja (dygresja, odchylenie), czyli kątowa odległość między ciałem niebieskim a środkiem tarczy Słońca. W praktyce jednak często sprowadza się ją do różnicy w długości ekliptycznej między Słońcem a innym obiektem. Mierzymy ją w zakresie od 0° do 180°, dodając określenie wschodnia bądź zachodnia w zależności, w którym kierunku od Słońca się znajdują.

Ponadto wyróżniamy kilka charakterystycznych położeń ciał niebieskich:

  • Koniunkcja – zachodzi dla elongacji równej 0°. Dla planet wewnętrznych (o orbitach mniejszych niż ziemska) występuje podział na koniunkcję dolną (planeta znajduje się bliżej niż Słońce) oraz górną (planeta znajduje się za Słońcem). Dla Księżyca zachodzi wówczas nów oraz możliwość zaćmienia Słońca. Termin koniunkcja stosuje się również, gdy różnica rektascensji dwóch ciał Układu Słonecznego jest równa 0.
  • Maksymalna elongacja – zachodzi wyłącznie dla planet wewnętrznych, jest to maksymalne odchylenie, jakie są w stanie uzyskać te ciała niebieskie.
  • Kwadratura – zachodzi dla elongacji równej 90°, w takim położeniu Księżyc znajduje się w pierwszej lub ostatniej kwadrze.
  • Opozycja – zachodzi dla elongacji równej 180°, Księżyc znajduje się wówczas w pełni.

Autor

Redakcja AstroNETu