Prezentujemy tekst naszego Czytelnika, Andrzeja Karonia. Wyjaśnia on w przejrzysty sposób pojęcia dotyczące elips i orbit planet. Autorowi dziękujemy za nadesłanie artykułu, a Czytelników zapraszamy do lektury.

Od jakiegoś czasu, coraz częściej mamy do czynienia z informacjami o nowych odkryciach w Układzie Słonecznym. Wciąż odkrywane są nowe komety, planetoidy, a nawet księżyce planet… Kiedy zostaje ogłoszone tego typu odkrycie, to zwykle podawane są podstawowe dane orbity nowego obiektu. Na przykład: “księżyc taki a taki porusza się po orbicie o półosi wielkiej…” albo: “orbita nowo odkrytej komety jest silnie spłaszczoną elipsą o mimośrodzie…”. No dobrze, ale czy te informacje mogą się nam, miłośnikom astronomii do czegoś przydać? A w ogóle to co to jest ta półoś wielka albo mimośród???

Otóż oczywiście, że tak! Znając podstawowe prawidła matematyki, każdy może obliczyć np. jak daleko od Słońca oddala się odkryta nowa kometa… Natomiast odpowiedź na drugie pytanie znajdziecie Państwo poniżej.

Wszystkie ciała niebieskie poruszają się po orbitach mających kształt którejś z krzywych stożkowych: koła, elipsy, paraboli lub hiperboli. Wspólna nazwa tego typu krzywych wzięła się stąd, że powstają one z przecięcia w różny sposób stożka przez płaszczyznę.

Krzywe stożkowe

Krzywe stożkowe powstają przez przecięcie stożka płaszczyzną. Jeśli powierzchnia przekroju jest prostopadła do osi symetrii stożka – otrzymujemy koło (na rysunku oznaczono kolorem czerwonym). Przy zmianie tego kąta otrzymujemy elipsy o różnym spłaszczeniu (oznaczone na żółto). Jeśli cięcie stanie się równoległe do tworzącej stożka, otrzymamy parabolę (na rysunku – zielona). Przy dalszym zwiększaniu kąta otrzymujemy hiperbole (oznaczone na niebiesko). Krzywe stożkowe mają wielkie znaczenie dla astronomii, gdyż po orbitach o takich właśnie kształtach krążą planety, komety i inne ciała niebieskie. Rysunek został wykonany przez Andrzeja Karonia.

Mimośród to miara odstępstwa orbity od kształtu kołowego, która może przyjmować różne wartości:

koło ma mimośród e = 0

elipsa ma mimośród od e > 0 do e < 1

parabola ma mimośród e = 1

hiperbola ma mimośród e > 1

Orbity wszystkich planet i większości mniejszych obiektów w Układzie Słonecznym są elipsami.

Orbity księżyców planet (a także sztucznych satelitów) mogą być kołowe lub eliptyczne.

Orbity komet są najczęściej eliptyczne, ale czasem pojawiają się takie komety, które tylko raz zbliżają się do Słońca i nigdy do nas nie wrócą, gdyż ich orbita ma kształt paraboli lub hiperboli.

Każda z tych krzywych stożkowych posiada wiele ciekawych właściwości, ale nas przede wszystkim będzie interesowała elipsa.

Elipsa posiada dwie osie symetrii (wielką oś 2*a i małą oś 2*b), a także po dwie półosie symetrii a i b. Półoś a nazywamy właśnie półosią wielką, analogicznie b to półoś mała. Natomiast na wielkiej osi elipsy znajdują się dwa symetryczne punkty (zwane ogniskami). Suma odległości dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest stała i równa się 2*a.

Gdy planeta porusza się po orbicie eliptycznej, to Słońce znajduje się w jednym z ognisk (drugie ognisko nie ma tu znaczenia), zaś punkt orbity znajdujący się najbliżej Słońca to peryhelium (oznaczany też jako q), a najdalej to aphelium (oznaczany też jako Q). W przypadku orbity księżyca lub sztucznego satelity, w ognisku orbity znajduje się planeta wokół której krąży.

Nieco wyżej została podana ogólna definicja mimośrodu (e), tutaj zostanie ona rozwinięta… Mimośród jest istotną cechą elipsy, gdyż jego wartość jest miarą jej spłaszczenia i można go obliczyć za pomocą następującego wzoru:

e=SQR[(a^2-b^2)] / a

Symbol SQR oznacza pierwiastek kwadratowy, a znak ^2 podnoszenie do drugiej potęgi. Mimośród można też określić jako stosunek odległości ogniska elipsy od środka tej krzywej do długości wielkiej półosi. Im większa wartość e, tym ogniska elipsy bardziej oddalają się od siebie, a zatem elipsa staje się coraz bardziej wydłużona (bo przecież a>b). Natomiast w szczególnym przypadku koła, obydwa ogniska “zlewają się” w jego środku, zaś a=b. Wartość b można obliczyć ze wzoru:

b=SQR[a^2-(a*e)^2].

Wracając jeszcze do orbit eliptycznych, to gdy znamy wartość półosi wielkiej oraz mimośród, to możemy łatwo policzyć perycentrum i apocentrum takiej orbity:

q=a*(1-e)

Q=a*(1+e)

Dla dociekliwych: można równie łatwo obliczyć np. wielkość orbity komety, kiedy zna się tylko jej mimośród i odległość peryhelium. Najpierw obliczamy jej półoś wielką:

a=q/(1-e)

a stąd możemy już bez problemu obliczyć aphelium (czyli Q) takiej komety!

Ufff!!! Pewnie już macie dość tych wszystkich wzorów, co?

No to w takim razie na koniec zachęcam Was jeszcze do obejrzenia animacji elips! Symulowany jest na niej kształt orbity eliptycznej o stałej półosi wielkiej, ale za to o zmieniającym się (co 1,5 sekundy) mimośrodzie…

Elipsy o różnych mimośrodach - animacja

Animacja przedstawia kształt elips o mimośrodach zmieniających się od zera do 0,9. Rysunek po lewej pozwala na porównanie kształtu elipsy z okręgiem. Dwa szare punkty to położenia ognisk elipsy. Rysunek po prawej to położenie orbity o odpowiednim mimośrodzie względem orbity kołowej. Słońce znajduje się zawsze w środku okręgu bądź w jednym z ognisk elipsy. Proszę zwrócić uwagę, że wszystkie prezentowana orbity mają taką samą wielką półoś. W związku z tym okres obiegu wokół Słońca ciał na nich się znajdujących jest identyczny. Rysunek został wykonany przez Andrzeja Karonia.

Autor

Michał Matraszek