Prezentujemy zadania, które w miniony poniedziałek rozwiązywać musieli uczestnicy zawodów drugiego stopnia XLVII Olimpiady Astronomicznej. Za nadesłanie ich treści serdecznie dziękujemy Kubie Skowronowi.

XLVII Olimpiada Astronomiczna

Zadania zawodów drugiego stopnia, 19 stycznia 2004 roku

1. Na początku bieżącego roku osiadł na Marsie lądownik Spirit, który będzie wędrował przez okres co najmniej 3 miesięcy po dnie krateru, gdzie został osadzony. Oblicz jak będzie zmieniała się z czasem odległość Marsa od Ziemi, przyjmując, że w momencie lądowania elongacja Marsa wynosiła f = 88^o. Przyjmij upraszczająco, że Ziemia i Mars poruszają się w jednej płaszczyźnie, po okręgach o promieniach odpowiednio równych R_Z = 1 AU, R_M = 1.52 AU, z okresami obiegu równymi odpowiednio P_Z = 1 rok i P_Z = 1.88 lat. Jaki to będzie miało wpływ na czas docierania sygnałów z Ziemi do Marsa i sygnałów powrotnych?

2. W trakcie ewolucji Wszechświata zmienia się jego średnia gęstość. W najprostszym, ale zupełnie dobrze opisującym Wszechświat modelu, określa to równanie Friedmanna:

   [dR(t)/dt]² = 8*PI*G / 3 * R²(t) * ro(t)

   gdzie R(t) jest czynnikiem skali, G – newtonowską stałą grawitacji a ro(t) – gęstością materii. Powyższe równanie różniczkowe opisuje ewolucję czasową tzw. Wszechświata płaskiego (o krzywiźnie równej zero), a pochodną czasowa w tym przypadku oznacza pochodną względem czasu kosmicznego t. Wiedząc, że przesunięcie ku czerwieni jest opisane wzorem

   z = R(t_w)/ R(t_e) – 1

   gdzie t_w i t_e oznacza odpowiednio czas kosmiczny w momencie rejestracji światła (czyli współcześnie) oraz w momencie jego emisji, oblicz średnią gęstość Wszechświata obecnie i w momencie emisji światła, którego przesunięcie ku czerwieni obecnie wynosi 6.

   W rozpatrywanym zakresie zmienności czasu kosmicznego można założyć, że Wszechświat jest wypełniony pyłem, czyli ciśnienie materii jest możliwe do pominięcia. Zauważ, że konieczny do rozwiązania zadania związek między gęstością masy i czynnikiem skali da się określić. Przyjmij, że stała Hubble’a z definicji określona jako H(t) = [dR(t)/dt] / R(t) wynosi współcześnie 70 km/(s*Mpc).

3. Podaj ekstremalne szerokości geograficzne występowania “księżycowych dni i nocy polarnych” dla Księżyca blisko pełni, rozumianych jako zjawisko, w którym Księżyc nie zachodzi w dwóch kolejnych kulminacjach dolnych oraz zjawisko w którym Księżyc w kolejnych dwóch kulminacjach górnych nie jest widoczny. Przedyskutuj, kiedy w ciągu roku takie zjawiska (dla wskazanych poprzednio obszarów) mogą nastąpić podczas pełni Księżyca.

4. W dniu 8 czerwca 2004 roku nastąpi przejście Wenus na tle tarczy słonecznej. “Kalendarz Astronomiczny na rok 2004” (T. Ściężor, PTMA) podaje następujące momenty zjawiska:

   pierwszy kontakt 5^h20^m UT,

   drugi kontakt 5^h39^m UT,

   trzeci kontakt 11^h03^m UT,

   czwarty kontakt 11^h23^m UT.

   Zaproponuj program obserwacji zjawiska, zakładając, że masz do dyspozycji teleskop o średnicy 25 cm i ogniskowej 250 cm, z napędem zegarowym. W projekcie uwzględnij cel obserwacji, a także określ, jakie dodatkowe oprzyrządowanie będzie potrzebne w przeprowadzeniu obserwacji.