II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 1 serii

Treść

Sonda krąży wokół Słońca po keplerowskiej orbicie, przy czym jej aparatura jest w stanie wytrzymać konkretny zakres temperatur. W związku z tym ustalono, że bezpieczne górne ograniczenie na wartość odległości sondy od Słońca wynosi $3,6$ AU, natomiast za dolne ograniczenie przyjęto $2,2$ AU. Wiedząc, że półoś wielka orbity wynosi $2,8$ AU, natomiast jej mimośród równy jest 0,72 oblicz przez jaki procent czasu trwania okresu orbitalnego aparatura sztucznego satelity znajduje się w odpowiednich warunkach termicznych. Zakładając, że 12 maja 2024 roku przechodził on przez aphelium oszacuj datę znalezienia się w odległości stanowiącej górne ograniczenie na bezpieczny dystans od Słońca.

Autor: Ksawery Głowacki

Rozwiązanie

Zacznijmy od skorzystania z równania biegunowego elipsy:

$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos V}$

Podstawiając wartości liczbowe dla $e=0{,}72$ , $r_1=2{,}2\,AU$ , $a=2{,}8\,AU$ otrzymujemy:

$V_1 = 122,5^\circ$

Następnie korzystamy ze związku:

$\tan \frac{E_1}{2} = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \, \tan \frac{V_1}{2}$

Stąd: $E_1 = 72,66^\circ$
Teraz już możemy przejść do równania Keplera, aby znaleźć czas na orbicie:

$E_1 - e\sin E_1 = \frac{2\pi}{P}(t_1-t_p)$

Podstawiając dane: $t_1 - t_p = 0,092P$
Analogicznie dla $r_2$ :

$V_2 = 150,3^\circ, \quad E_2 = 113,36^\circ, \quad \Delta t_2 = 0,209P$

Różnica: $\Delta t_2 - \Delta t_1 = 0,117P$
Dla drugiej połowy orbity: $2(\Delta t_2 - \Delta t_1) = 0,234P$
Okres orbitalny (prawo Keplera):

$P^2 = a^3 \Rightarrow P = 4,68 \,\text{lat}$

Zatem satelita znajduje się w odpowiedniej strefie przez $23,4\%$ okresu.
Dla drugiej części zadania:

$S = \frac{P}{2} - (t_2-t_p) = 0,291P = 1,36 \,\text{lat} = 497 \,\text{dni}$

Data: 12 maja 2024 + 497 dni $\approx$ 21 września 2025.

Zadanie pochodzi z Olimpijskiej Ligi Astronomicznej. Więcej informacji o konkursie i o obecnej edycji można znaleźć na stronie: https://almukantarat.pl/liga-astronomiczna/.

Korekta – Zofia Lamęcka

Treść

Rozwiązanie

I Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 3 z 5 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 5 z 6 serii

II Olimpijska Liga Astronomiczna: Zadanie 1 z 4 serii