Treść

Kometa C/2023 P1 (Nishimura), która 12 września dokonała przelotu najbliżej Ziemi, odkryto 11 sierpnia 2023 roku. Jej współrzędne w układzie ekliptycznym wynosiły wtedy
,
,
prędkość radialna ,
prędkość styczna w długości ekliptycznej ,
w szerokości ekliptycznej ,
odległość od Ziemi .

Wyznacz odległość kątową komety od Słońca w momencie jej peryhelium z punktu widzenia obserwatora umieszczonego w środku Ziemi.

Załóż kołowość orbity Ziemi, pomiń wpływ ciał innych niż Słońce na ruch komety. Dane o pozycji Słońca w każdym dniu roku możesz znaleźć w Roczniku Astronomicznym bądź innych dostępnych w internecie źródłach.

Autor: Aleksander Łyczek

Rozwiązanie

Aleksander Łyczek

Rozwiązanie z reguły najlepiej zacząć od dobrego rysunku rozważanej sytuacji, takiego chociażby jak ten powyżej. Następnie należy się zastanowić, co musimy wzynaczyć po drodze, by dojść do rozwiązania problemu. W zadaniu należy policzyć elongację komety w momencie jej przejścia przez peryhelium. Aby to zrobić, niezbędne jest określenie położenia punktu peryhelium w przestrzeni, jak również położenia Ziemi w tejże chwili czasu. Peryhelium możemy określić dzięki znajomości wektorów położenia i prędkości komety w pewnej chwili czasu, gdyż wektory te wyznaczają płaszczyznę ruchu komety, jak również pozwalają określić rozmiar orbity, po której okrąża ona Słońce. Następnie dzięki określeniu odległości kątowej między peryhelium a aktualnym położeniem będzie można z II prawa Keplera wyznaczyć czas, po którym to przejście nastąpi. Mając ten czas, można łatwo policzyć wektor położenia Ziemi w momencie przejścia komety przez peryhelium i tym samym szukaną elongację mniejszego ciała.

Rozwiązanie zaczniemy od wprowadzenia kartezjańskiego układu współrzędnych, początek znajduje się w Słońcu, oś X wskazuje na punkt Barana, zaś oś Z na północny biegun ekliptyczny — wtedy płaszczyzna XY pokrywa się z płaszczyzną orbity Ziemi wokół Słońca. Bazując na rysunku, chcemy wyznaczyć wektory oraz .

Zacznijmy od znalezienia wektora położenia komety. Na podstawie rysunku można zauważyć, że wektor jest sumą wektorów oraz . Wektor ma znaną długość równą 1 AU, leży w płaszczyźnie ekliptyki oraz tworzy z osią X kąt ( w dniu 11 sierpnia 2023 w południe czasu polskiego), zatem jego współrzędne w układzie kartezjańskim wynoszą

Położenie komety względem ziemi jest natomiast określone w sferycznym układzie współrzędnych poprzez wielkości , oraz . Przejście z układu sferycznego na kartezjański odbywa się następująco:

Wektor wynosi zatem

Długość wektora wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa.

Wyznaczenie jest nieco bardziej problematyczne, gdyż w zadaniu mamy podane niebezpośrednio aż trzy niezależne informacje o ruchu komety względem Ziemi, mianowicie o prędkościach oznaczonych na rysunku , oraz , których składowe należy wyznaczyć w układzie kartezjańskim i dodać do siebie, by dostać wektor prędkości komety względem Ziemi . Ostatni wektor jest niczym innym jak różnicą wektorów i , co implikuje, że . Poniżej znajdują się rozpisane wszystkie niezbędne nam wektory prędkości, ewentualny dowód tego, że mają one właśnie taką postać, pozostawiam Czytelnikowi. Wartość prędkości Ziemi w ruchu Słońca można wyznaczyć ze wzoru na ruch po okręgu albo znaleźć w internecie, .

Zanim przejdziemy do dalszych obliczeń, warto wykonać rysunek obrazujący ewolucję sytuacji. Na obrazku poniżej czarna krzywa przedstawia trajektorię, którą kometa pokonuje do osiągnięcia peryhelium, — jej anomalia prawdziwa w chwili początkowej, — punkt peryhelium, — szukana elongacja, — długość ekliptyczna Słońca w momencie przejścia komety przez peryhelium.

Aleksander Łyczek

Znając położenie i prędkość komety względem Słońca, można policzyć jej całkowitą energię mechaniczną oraz moment pędu na jednostkę masy, oznaczony dalej jako Z zasady zachowania energii mamy

Moment pędu jest zdefiniowany jako iloczyn wektorowy wektorów położenia i prędkości, zatem

Z momentu pędu można wyznaczyć mimośród orbity komety, gdyż obowiązuje zależność

Mamy wielką półoś, mamy mimośród, możemy zatem wyznaczyć odległość komety od Słońca w peryhelium:

Nadal potrzebujemy jednak wektora określającego położenie przestrzenne peryhelium, jak również czasu do przejścia komety przez nie. Do wyznaczenia pierwszej z tych rzeczy można użyć gotowej formuły (hasło wyszukiwania w Google: “eccentricity vector”), albo zauważyć, że wektor ten leży w płaszczyźnie orbity, zatem jest prostopadły do wektora momentu pędu komety, jak również tworzy z wektorem położenia komety kąt równy anomalii prawdziwej, do znalezienia której dysponujemy potrzebnymi danymi. Oznaczmy ten wektor wskazujący od Słońca do peryhelium orbity przez  i załóżmy, że ma on długość 1, wtedy . Dodatkowo wprowadźmy jednostkowe wektory oraz  , skierowane odpowiednio wzdłuż wektorów oraz .

Z własności iloczynu skalarnego wektorów wiemy, że . Ponadto zauważmy, że wektory i  leżą w płaszczyźnie orbity, zatem wektor będący wynikiem ich iloczynu wektorowego jest do niej prostopadły, a tym samym równoległy do wektora . Ponadto długość wektora z własności iloczynu wektorowego wynosi , z czego możemy wywnioskować, że . Razem z równaniem na iloczyn skalarny daje to układ 4 równań do rozwiązania:

Mogłoby się wydawać, że mamy aż 4 równania, a tylko 3 niewiadome, więc otrzymany układ równań jest sprzeczny, jednak pierwsze 3 równania wynikające z iloczynu wektorowego są liniowo zależne, tzn. dowolne z nich można przedstawić jako kombinację liniową dwóch pozostałych. Niezależne równania są de facto 3, a ich rozwiązanie wygląda następująco (dowód pozostawiam Czytelnikowi):

Anomalię prawdziwą obliczamy z równania elipsy w układzie biegunowym o środku w jej ognisku:

Możemy teraz podstawić wyliczoną wartość do wzorów na składowe wektora i wyznaczyć położenie peryhelium w przestrzeni. Zostaje zatem ostatni akcent, czyli wyznaczenie czasu do przejścia komety przez peryhelium. Można w tym celu skorzystać z II prawa Keplera, wyznaczając uprzednio pole wycinka elipsy o kącie i środku w jej ognisku (da się to zrobić bez całkowania, jeśli zauważy się fakt, że elipsa to okrąg o promieniu spłaszczony w jednej osi o czynnik ). My jednak w tym celu posłużymy się związkami jakie zachodzą między anomaliami: prawdziwą , mimośrodową oraz średnią . Związki te są bezpośrednią konsekwencją II prawa Keplera oraz relacji geometrycznych między elipsą a opisanym na niej okręgiem. Anomalię średnią definuje się jako , gdzie to okres obiegu ciała niebieskiego, zaś odstęp czasu między chwilą obecną a momentem przejścia przez peryhelium. Anomalię średnią z mimośrodową wiąże tzw. równanie Keplera (wartości kątów muszą być podane w radianach):

Z kolei anomalia mimośrodowa jest powiązana z prawdziwą następującą relacją

Następnie wyznaczone podstawiamy równania Keplera, by otrzymać wartość anomalii średniej. Do wyznaczenia potrzeba nam zatem jeszcze okresu obiegu komety wokół Słońca, który obliczamy z III prawa Keplera:

Ponieważ założyliśmy, że orbita Ziemi jest kołowa, w momencie przejścia komety przez peryhelium, długość ekliptyczna Słońca będzie wynosić

Wektor położenia Ziemi względem Słońca w tej chwili wynosi więc

Relacja pomiędzy wektorami, z której możemy wyznaczyć położenie komety w peryhelium względem Ziemi, wygląda podobnie jak na początku rozwiązania. Wtedy zachodziła relacja , natomiast teraz mamy

Kąt elongacji jest kątem pomiędzy wektorem oraz wektorem przeciwnym do wektora , czyli . Oba wektory znamy, zatem kąt można wyliczyć np. z własności iloczynu skalarnego.