Jednymi z najważniejszych (jak nie najważniejszymi) pomiarów ilościowych, jakie możemy dokonać na podstawie obserwacji nocnego nieba to obserwacje odległości do ciał niebieskich. Wcześniejsze przygody na przestrzeni artykułów z tej serii nauczyły nas, że dystans do obiektów Układu Słonecznego możemy mierzyć za pomocą obserwacji ruchu i praw Keplera. Śledzenie ruchu pobliskich gwiazd w perspektywie rocznej daje możliwość zbadania odległości za pomocą paralaksy heliocentrycznej. Narzędzia te są jednak bezużyteczne w większej skali — odległych gwiazd na rubieżach Drogi Mlecznej, czy galaktyk. Okazuje się, że metod jest wiele, a dwie najpowszechniejsze spośród nich opiszę w tym artykule.

Artykuł napisał Jurand Prądzyński.

Świece standardowe

Różnorodność ciał niebieskich, wynikająca z oddziaływania z otoczeniem, czy wiekiem, skłania do wniosku, że na pozór dwa obiekty obserwacyjnie podobne, mogą mieć skrajnie różne parametry fizyczne, jak masa czy temperatura. Istotnie tak jest w większości przypadków, ale nie we wszystkich. Obraz części procesów definiowany jest przez ograniczenia wynikające z wartości stałych fizycznych, czy procesów mikroskopowych na poziomie fizyki kwantowej. W takich sytuacjach obserwowane zjawiska są identyczne, niezależnie od miejsca we Wszechświecie. Obiekty wykazujące zdolność do tworzenia takich zjawisk nazywamy świecami standardowymi. Mamy na przykład proces wybuchu supernowych typu Ia. Najpowszechniejsza teoria tłumacząca te wybuchy mówi o układzie podwójnym, w którym jeden składnik to biały karzeł, a drugi to pobliska, rozległa gwiazda. Biały karzeł jako obiekt osiągający masę porównywaną ze Słońcem w kuli o promieniu kilku tysięcy kilometrów posiada w swoim pobliżu bardzo silne pole grawitacyjne, przez co wysysa część zewnętrznej otoczki ze swojego masywniejszego sąsiada. Istnieje masa krytyczna, jaką jest w stanie w sobie zgromadzić biały karzeł, znana jako granica Chandrasekhara. Jej wartość to \mathbf{M_{Ch} \approx 1.44 M_{\odot}}. Po osiągnięciu tej granicy gwiazda wybucha z jasnością absolutną M = -19.3^m, co sprawia, że świeci jaśniej niż cała galaktyka w której się znajduje. Możemy wtedy zarejestrować jasność obserwowaną m i dzięki formule wynikającej z prawa Pogsona wyznaczyć odległość do galaktyki d (we wzorze wyrażenie w parsekach):

    \begin{equation*} m-M = 5\cdot \log(d) -5. \end{equation*}

Innym typem świec standardowych są cefeidy. W każdej gwieździe cały czas bój toczą dwie siły — ciśnienie hydrostatyczne, wynikające z energii produkowanej wskutek procesów jądrowych oraz napór masy na wnętrze gwiazdy powodowane siłą grawitacji. Stan idealnej równowagi tych sił jest rzadki, najczęściej gwiazdy dokonują radialnych oscylacji z różnymi amplitudami. W czasie takiego cyklu gwiazda zmienia swoją temperaturę wnętrza i promień, co wpływa na jej jasność. Szczególnym typem gwiazd, których jasność zmienia się periodycznie, są właśnie cefeidy. Okres P zmian ich jasności m, jest związany ze średnią wielkością absolutną M następującą zależnością:

    \begin{equation*} M = A\log (P) + B \end{equation*}

dla pewnych stałych A, B zależnych od typu Cefeidy. W literaturze związek ten często występuje jako prawo Leavitt.

Prawo Hubble’a

Jednym z ważniejszych dokonań w astronomii było odkrycie z początku dwudziestego wieku, że Wszechświat jest dużo większy, niż mogło nam się wcześniej wydawać. Obserwacje linii widmowych dla pewnych obiektów mgławicowych ukazywały ogromne przesunięcie ku czerwieni. Chaotyczny, szybki ruch mgławic w Drodze Mlecznej nie jest rozwiązaniem, gdyż wszystkie takie obiekty się oddalają od ziemskiego obserwatora. Odpowiedzią na pytanie o naturę masowej ucieczki od Ziemi jest rozszerzanie się przestrzeni tak, aby odległość dowolnych dwóch punktów skalowała się w czasie. Pokażmy, że wtedy prędkość ucieczki rośnie z odległością. Weźmy dwa punkty odległe od siebie o r. Po czasie \Delta t ich odległość wynosić będzie r\cdot f(\Delta t) dla niemalejącej funkcji rzeczywistej f. Prędkość ucieczki możemy opisać więc przez:

    \begin{equation*} \Delta r = r\cdot f(\Delta t) - r = r(f(\Delta t) - 1). \end{equation*}

Dzieląc ten ułamek przez \Delta t mamy wyrażenie odpowiadające średniej prędkości:

    \begin{equation*} v = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{f(\Delta t) - 1}{\Delta t} \cdot r \end{equation*}

Traktując teraz \frac{f(\Delta t) - 1}{\Delta t} jako funkcję H(\Delta t) otrzymujemy proporcjonalność v do r regulowaną pewną funkcją czasu zwaną Stałą Hubble’a. Początkowe przypuszczenia były takie, że funkcja ta rzeczywiście jest stała, na co wskazywały obserwacje. Współcześnie jednak mówi się o tym, że wzięte w rachunku \Delta t jest na tyle małe, że zmiany tej funkcji nie umieliśmy za czasów odkrywcy zjawiska Edwina Hubble’a zmierzyć. Aktualną wartość stałej Hubble’a szacuje się na 70 \pm 5 (km/s)/Mpc. Wybrana jednostka jest bardzo użyteczna i nieprzypadkowa, o czym czytelnik będzie mógł się przekonać przy okazji zadań.

Zadania

Zadanie 1 – XXIV OA (uproszczona wersja)

Tabelka zawiera jasności obserwowane m i okresy pulsacji P dziesięciu przykładowych cefeid klasycznych z Małego Obłoku Magellana odległego o D_0 = 55kps.

Lp.mPLp.mP
115.2^m12.5^d616.4^m1.36^d
214.9^m12.9^d716.5^m1.93^d
314.7^m13.8^d816.3^m1.66^d
415.0^m9.9^d916.3^m1.76^d
515.1^m10.2^d1016.4^m2.00^d

Na podstawie informacji zawartych w tabelce, oszacuj odległość do cefeidy, której maksimum jasności to m_{max} = 9.5^m, a minimum m_{min} = 10.1^m. Okres pulsacji tej cefeidy to P_0 = 6.5^d.

Rozwiązanie

Na podstawie danych możemy skorzystać z metody najmniejszych kwadratów, aby obliczyć współczynniki w prawie Leavitt. Nie wolno zapomnieć, że okresy P należy uprzednio potraktować logarytmem. Mamy:

    \begin{equation*} M = m + 5 - 5\log D_0 = A\log P + B \end{equation*}

    \begin{equation*} m(P) = A \log P + B +18.7 \end{equation*}

Ustalmy, że liczba punktów to N=10, wektor 10-elementowy \log P = X = (x_1,\dots, x_{10}). Podobnie oznaczmy m(P) = Y = (y_1, \dots, y_{10}). Średnie arytmetyczne odpowiednich wektorów to \overline{X}, \overline{Y}. Wtedy najlepsze dopasowanie do danych z tabelki dla A, B to:

    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{x_1y_1 + \dots x_{10}y_{10} + N\cdot \overline{X}\cdot \overline{Y}}{x_1^2 + \dots + x_{10}^2 - N\cdot \overline{X}^2}\\ B = \overline{Y} - A\cdot \overline{X} -18.7 \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Mamy \overline{X} = 0.653, x_1y_1 + \dots + x_{10}y_{10} = 99.504, x_1^2 + \dots + x_{10}^2 = 6.031, \overline{Y} = 15.680. Stąd A = 19.611, B = -15.826. Wykonane tutaj obliczenia pokazują ścisły sposób na dobre dopasowanie prostej do punktów. Oczywiście w warunkach 2 i 3 etapu olimpiady skuteczniejszą i pod pewnymi aspektami lepszą metodą jest narysowanie wykresu i poprowadzenie prostej pasującej do punktów. Łatwiej wtedy zauważyć, czy dana zależność rzeczywiście jest liniowa i czy nie ma danych odstających, które potencjalnie psują dopasowanie. Średnią jasność cefeidy, której odległość mamy znaleźć, możemy oszacować przez <m> = \frac{m_{max} + m_{min}}{2} = 9.8^m. Wtedy:

    \begin{equation*} M = A\log(P_0) + B = 0.116^m. \end{equation*}

Wobec tego:

    \begin{equation*} <m> - M = 5\log D - 5 \Rightarrow D = 10^{\frac{<m>-M+5}{5}} = 864 pc. \end{equation*}

Co mieliśmy znaleźć.

Zadanie 2 – LIV OA, III etap

W odległości odpowiadającej przesunięciu ku czerwieni z=0.1 zaobserwowano galaktykę o średnicy kątowej \alpha = 12'. Udało się również zmierzyć przesunięcie ku czerwieni zewnętrznych fragmentów tej galaktyki. Różniło się ono od przesunięcia średniego z\Delta z = 7\cdot 10^{-3}. Przyjmując, że różnica ta jest spowodowana ruchem wokół centrum, a oś obrotu galaktyki jest prostopadła do linii widzenia oblicz masę obserwowanej galaktyki. Zakładamy dodatkowo, że rozkład materii jest w tej galaktyce sferycznie symetryczny, a ruch gwiazd jest kołowy z prędkościami nierelatywistycznymi.

Rozwiązanie

Gwiazda będąca na brzegu sferycznej galaktyki porusza się zgodnie z prawami grawitacji newtonowskiej, skąd wyznaczymy masę galaktyki. Odległość do galaktyki możemy znaleźć dzięki znanemu przesunięciu ku czerwieni:

    \begin{equation*} z \approx \frac{v}{c} \Rightarrow d = \frac{v}{H} = \frac{cz}{H} \in (400 Mpc, 461 Mpc). \end{equation*}

Promień galaktyki możemy znaleźć mając jej wielkość kątową. Promień kątowy jest połową średnicy, skąd wyrażając kąt w radianach, możemy skorzystać z formuły:

    \begin{equation*} \frac{\alpha}{2} \cdot d = R \in (0.7 Mpc, 0.8 Mpc). \end{equation*}

Obserwowana galaktyka zgodnie z tym wyliczeniem jest ponad czterokrotnie większa od Drogi Mlecznej.

Mając różnicę w obserwowanym przesunięciu ku czerwieni na brzegu, możemy wyznaczyć prędkość gwiazd na brzegu galaktyki v_{gwiazd} = v_{brzeg} - v w ruchu wokół jej wnętrza. Dla uproszczenia zapisu od razu będziemy korzystać z wartości prędkości, aby uniknąć różnic wynikających z kierunku ruchu po dwóch stronach galaktyki. Mamy:

    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} z+\Delta z = \frac{v_{brzeg}}{c}\\ z = \frac{v}{c} \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Stąd po odjęciu stronami równań:

    \begin{equation*} \Delta z = \frac{v_{gwiazd}}{c} \Rightarrow v_{gwiazd} \approx 2099 \frac{km}{s}. \end{equation*}

Zakładamy więc, że otrzymana prędkość jest pierwszą prędkością kosmiczną dla gwiazd na brzegu galaktyki. Mamy wtedy:

    \begin{equation*} v_{gwiazd}^2 = \frac{GM}{R}\Rightarrow M = \frac{Rv_{gwiazd}^2}{G} \in (7.16\cdot 10^{14}M_{\odot},8.18\cdot 10^{14}M_{\odot}). \end{equation*}

Oszacowana wielkość daje ogromną masę porównywalną z 100 masami Drogi Mlecznej. Obserwujemy jednak galaktyki o podobnej masie. Warto dodać jeszcze komentarz do samej metody obliczeń. Według współczesnej wiedzy rozkład radialny prędkości gwiazd w galaktykach mocno odbiega od tego, jaki powinen być zgodnie ze znanymi prawami grawitacji. Do obliczeń lepszej jakości można wykorzystać związek Tully’ego-Fishera głoszący, że M \sim -log(v). Jest to jednak prawda w stosunku do galaktyk spiralnych, szacowany rozmiar i sferyczny kształt sugerują raczej, że galaktyka jest eliptyczna.

Zadanie 3 – IOAA 8 (zmodyfikowane)

Rozważmy supernową typu Ia z odległej galaktyki, obserwowaną w maksimum swojego blasku. Załóżmy, że jasność tej supernowej jest mniejsza 1.6\cdot 10^{-7} raza od jasności Vegi. Przesunięcie ku czerwieni tej galaktyki to z=0.05. Wyznacz odległość do galaktyki, w której jest obserwowana supernowa.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wielkość obserwowaną m naszej supernowej. Mamy zgodnie z treścią:

    \begin{equation*} 1.6\cdot 10^{-7} = \frac{I_{Ia}}{I_{Vega}}. \end{equation*}

Zadanie wymaga znajomości nieoczywistego faktu m_{Vega} = 0^m. Zgodnie z prawem Pogsona mamy:

    \begin{equation*} m_{Ia} - m_{Veg} = m_{Ia} = -2.5 \log(1.6 \cdot 10^{-7}), \end{equation*}

    \begin{equation*}m_{Ia} \approx 17.0^m. \end{equation*}

Stąd wykorzystując M_{Ia} = -19.3 i formułę łączącą odległość do obiektu z jasnością absolutną oraz obserwowaną mamy:

    \begin{equation*} m-M = 5\log(d_{Ia}) - 5 \end{equation*}

    \begin{equation*} 10^{\frac{m-M+5}{5}} = d_{Ia} \approx 182 Mpc. \end{equation*}

Zadanie również można rozwiązać wykorzystując stałą Hubble’a. Wtedy mamy:

    \begin{equation*} z \approx \frac{v}{c} \Rightarrow d_{Ia} = \frac{v}{H} = \frac{cz}{H} \in (200 Mpc, 230 Mpc). \end{equation*}

Różnice tego rzędu w kosmologii nie są niczym zaskakującym. Mierzone wartości danych obserwacyjnych są obarczone często niemałymi błędami.

Autor

Redakcja AstroNETu